六年級奧數常考題：排列組合練習題
導語：知之者不如好之者，好之者不如樂之者。下面是小編為大家整理的，小學數學奧數練習題。希望對大家有所幫助,歡迎閱讀，僅供參考，更多相關的知識，請關注CNFLA學習網!
小學奧數練習題【例一】
解排列組合問題,首先要弄清一件事是"分類"還是"分步"完成,對于元素之間的關系,還要考慮"是有序"的還是"無序的",也就是會正確使用分類計數原理和分步計數原理,排列定義和組合定義,其次,對一些復雜的帶有附加條件的問題,需掌握以下幾種常用的解題方法:
特殊優先法對于存在特殊元素或者特殊位置的排列組合問題,我們可以從這些特殊的東西入手,先解決特殊元素或特殊位置,再去解決其它元素或位置,這種解法叫做特殊優先法.例如:用0,1,2,3,4這5個數字,組成沒有重復數字的三位數,其中偶數共有________個.(答案:30個)
科學分類法對于較復雜的排列組合問題,由于情況繁多,因此要對各種不同情況,進行科學分類,以便有條不紊地進行解答,避免重復或遺漏現象發生例如:從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任取5臺,其中至少有原裝與組裝計算機各兩臺,則不同的選取法有_______種.(答案:350)
插空法解決一些不相鄰問題時,可以先排一些元素然后插入其余元素,使問題得以解決例如:7人站成一行,如果甲乙兩人不相鄰,則不同排法種數是______.(答案:3600)
捆綁法相鄰元素的排列,可以采用"整體到局部"的排法,即將相鄰的元素當成"一個"元素進行排列,然后再局部排列例如:6名同學坐成一排,其中甲,乙必須坐在一起的不同坐法是________種.(答案:240)
排除法從總體中排除不符合條件的方法數,這是一種間接解題的方法.
b,排列組合應用題往往和代數,三角,立體幾何,平面解析幾何的某些知識聯系,從而增加了問題的綜合性,解答這類應用題時,要注意使用相關知識對答案進行取舍.例如:從集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3個元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A,B,C,所得的經過坐標原點的直線有_________條.(答案:30)
小學奧數練習題【例二】
問題：小明所在的班級要選出4名中隊長，要求每位同學在選票上寫上名字，也可以寫自己的名字。 結果全班的每位同學都在自己的選票上寫了4個互不相同的名字。當小明把同學們的選票收集后發現一個有趣的現象：就是任意取出2張選票，一定有且只有一個人的名字同時出現在2張選票上。 請問：小明所在的班級共有多少人?
總體邏輯思路：首先，假設題目所說的情況存在。然后，得出班級人數。最后，構造出一個例子，說明確實存在這種情況。
我們先來證明這個班每個人都恰好都被選了4次。
思路簡介：我們首先用反證法證明沒有人被選了4次以上。由于平均每人被選了4次，既然沒有人被選了4次以上，肯定也不存在被選了4次以下的人。所以，可以得到每個人恰好被選了4次。
首先證明沒有人被選了4次以上，我們用反證法。
假設有一個人被選了4次以上(由于很容易證明這個班的人數肯定不少于7人，所以我們可以假設有一個人被選了4次以上)，我們設這個人為A同學。接下來我們來證明這種情況不存在。
把所有選擇A同學的選票集中到一起，有5張或5張以上。方便起見，我們把這些選票編號，記為A1選票，A2選票，A3選票，A4選票，A5選票，…。意思就是選擇A同學的第1張選票，選擇A同學的第2張選票，…。
這些選票都選擇了A同學。由于任意2張選票有且只有1個人相同，所以這些選票上除了A同學外，其他都是不同的人。
我們還可以證明，這些并不是全部的選票，不是太難，就不證明了。
既然這些(所有選A同學的選票)不是全部的選票，我們再拿一張沒有選擇A同學的選票。方便起見，稱之為B選票。
根據任意2張選票有且只有1個人相同，A1選票上必有一個人和B選票上的一個人是相同的，而且這個人不是A同學。
同樣道理，第A2、A3、A4、A5、…上也必有一個人和B選票上的一個人是相同的，而且這個人不是A同學。
由于B選票上只有4個不同的人，而A1、A2、…，的數量大于4.所以，A1、A2、A3、…選票中至少有2張選票，除了A同學外還有一個共同的候選人。根據任意2張選票有且只有1個人相同，我們知道這是不可以的。
所以，沒有人被選了4次以上。
由于平均每人被選4次，既然沒有人被選4次以上，當然也就不可能有人被選4次以下。
所以，每個人恰好被選了4次!
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證明了每個人都恰好被選了4次后，下面我們用兩種方法來求出班級的人數。
方法一：解方程設這一班有n個人，從n張選票里面任選2張有C(n，2)=n(n-1)/2種情況。
由于任意2張選票都有且只有1個人相同，所以每一種情況都代表了一種2張選票重復選擇了同一個人的情況。(這句話不太好理解，暫時沒有想到好的表述)
每一個人都被選了4次，則2張選票重復選擇了同一個人的'情況又等于nC(4，2)=6n
所以n(n-1)/2=6n解得n=13.
方法二：分析論證，計算我們從所有選票中拿出一張，這張選票上有四個人，方便起見記為甲、乙、丙、丁四個人。
除了我們拿出的這張選票外，所有選甲的選票組成集合[甲].所有選乙的選票組成集合[乙].所有選丙的選票組成集合[丙].所有選丁的選票組成集合[丁].
由于每個人都恰好被選了4次，所以[甲]、[乙]、[丙]、[丁]四個集合中都有3個元素。而且這四個集合沒有交集。
每個集合有3張選票，再加上我們拿出的這張選票，一共有4×3+1=13張選票，即13個人。
下面我們證明選票數不能多于13張。還是用反證法。
假設選票數多于13張，我們從中取14張。從這14張選票中我們拿出一張稱為C選票。除了C選票外還有13張選票，C選票上有4個不同的人，這13張選票中的每一張都有一個人和C選票上的一個人是相同的。這樣13張選票中至少有4張選擇了C選票上的同一個人，這樣再加上C選票，就有5個人選擇了同一個人。
根據前面的結論，沒有人被選了4次以上，所以選票數不能多于13張。而且只能是13張。
所以只有13張選票，即只有13個人。
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下面說明這種情況確實存在。
給出一種投票結果即可。
(1，2，3，4)
(1，5，6，7)
(1，8，9，10)
(1，11，12，13)
(2，5，8，11)
(2，6，9，12)
(2，7，10，13)
(3，5，9，13)
(3，6，10，11)
(3，7，8，12)
(4，5，10，12)
(4，6，8，13)
(4，7，9，11)
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方法三：網上搜到得一種方法，設班級有x個人，那么x張票中總共有4x(有重復)個名字，也就是說班級里每個人的名字平均出現4次，(1) 如果有一個人的名字在所有票中都出現，那么x張票應該有不重復的名字3x+1個，這與班級有x個人矛盾，(2)如果一個人的名字在5張票中都出現過，那么假設為(1，2，3，4)(1，5，6，7)(1，8，9，10)(1，11，12，13)(1，14，15，16)那么你無法構造一個不包含1，但與前面5張票都有一個同名的票，所以一個人的名字在所有票中最多出現4次，并且每個人的名字在所有票中平均出現4次，那也就是說每個人的名字在所有票中出現4次假設包含1的票為(1，2，3，4)(1，5，6，7)(1，8，9，10)(1，11，12，13)其中2出現了1次，之后構造其他包含名字2的3張票為(2，5，8，11)(2，6，9，12)(2，7，10，13)
之后構造分別包含名字3，4的各3張票。發現符合題意，所以這個班有13人。
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