大學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)列極限與函數(shù)極限的實(shí)驗(yàn)報(bào)告

大學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)于數(shù)列極限與函數(shù)極限的實(shí)驗(yàn)報(bào)告

　　篇一：大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 數(shù)列極限與函數(shù)極限

　　一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/strong>

　　從劉徽的割圓術(shù)、裴波那奇數(shù)列研究數(shù)列的收斂性并抽象出極限的定義；理解數(shù)列收斂的準(zhǔn)則；理解函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系。

　　二、實(shí)驗(yàn)材料

　　1.1割圓術(shù)

　　中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》方田章圓田術(shù)中創(chuàng)造了割圓術(shù)計(jì)算圓周率。劉徽先注意到圓內(nèi)接正多邊形的面積小于圓面積；其次，當(dāng)將邊數(shù)屢次加倍時(shí)，正多邊形的面積增大，邊數(shù)愈大則正多邊形面積愈近于圓的面積。

　　“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割以至不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣�！边@幾句話(huà)明確地表明了劉徽的極限思想。

　　以Sn表示單位圓的圓內(nèi)接正32n1多邊形面積，則其極限為圓周率。用下列

　　Mathematica程序可以從量和形兩個(gè)角度考察數(shù)列{Sn}的收斂情況：

　　m=2;n=15;k=10;

　　n1 For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k];(圓內(nèi)接正32多邊形邊長(zhǎng))

　　n1 s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k]; (圓內(nèi)接正32多邊形面積)

　　r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1];

　　Print[i," ",r[i]," ",l[i]," ",s[i]," ",d[i]]

　　]

　　t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}](數(shù)組)

　　ListPlot[t] (散點(diǎn)圖)

　　1.2裴波那奇數(shù)列和黃金分割

　　由F00;F11;FnFn1Fn2有著名的裴波那奇數(shù)列{Fn}。 如果令Rn1Fn1Fn，由Fn遞推公式可得出

　　1

　　1Fn1/Fn11Rn1RnFnFnFn1115[，F(xiàn)n25n1152n1]；

　　limRnlimnFnFn1n512。

　　用下列Mathematica程序可以從量和形兩個(gè)角度考察數(shù)列{Rn}的收斂情況：

　　n=14,k=10; For[i=3,i<=n,i++, t1=(Sqrt[5]+1)/2; t2=(1-Sqrt[5])/2;

　　f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k]; (定義裴波那奇數(shù)列通項(xiàng))

　　rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1];

　　Print[i," ",rn," ",Rn," ",dn];

　　] t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}]ListPlot[t]

　　1.3收斂與發(fā)散的數(shù)列

　　數(shù)列{i1inp}當(dāng)p1時(shí)收斂，p1時(shí)發(fā)散；數(shù)列{sinn}發(fā)散。

　　1.4函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系

　　用Mathematica程序

　　m=0;r=10^m;x0=0;

　　f[x_]=x*Sin[1/x]

　　Plot[f[x],{x,-r,r}]

　　Limit[f[x],x->x0]

　　觀察f(x)xsinx1的圖象可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在x0點(diǎn)處不連續(xù)，且函數(shù)值不存在，但在x0點(diǎn)處有極限。

　　令xan1/n,n1,2,,100，作函數(shù)的取值表，畫(huà)散點(diǎn)圖看其子列的趨向情況

　　k=10;p=25;

　　a[n_]=1/n;

　　tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]

　　ListPlot[tf]

　　Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1]

　　分別取不同的數(shù)列an(要求an0)，重做上述過(guò)程，并將各次所得圖形的分析結(jié)果比

　　較，可知各子列的極限值均為上述函數(shù)的極限值。

　　對(duì)于g(x)sinx1，類(lèi)似地考察在x0點(diǎn)處的極限。

　　三、實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備

　　認(rèn)真閱讀實(shí)驗(yàn)?zāi)康呐c實(shí)驗(yàn)材料后要正確地解讀實(shí)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上制定實(shí)驗(yàn)計(jì)劃（修改、補(bǔ)充或編寫(xiě)程序，提出實(shí)驗(yàn)思路，明確實(shí)驗(yàn)步驟），為上機(jī)實(shí)驗(yàn)做好準(zhǔn)備。

　　3.1考察數(shù)列斂散性

　　改變或增大n，觀察更多的項(xiàng)（量、形），例如，n分別取50，100，200，…；擴(kuò)展有效數(shù)字k，觀察隨n增大數(shù)列的變化趨勢(shì)，例如，k分別取20，30，50；或固定50；或隨n增大而適當(dāng)增加。對(duì)實(shí)驗(yàn)要思考，例如，定義中的指標(biāo)與柯西準(zhǔn)則中的指標(biāo)間的差異；數(shù)列收斂方式；又例如，如何估計(jì)極限近似值的誤差。

　　3.2考察函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系

　　改變函數(shù)及極限類(lèi)型，例如，考慮六種函數(shù)極限，既選取極限存在也選取極限不存在的例子；改變數(shù)列，改變參數(shù)觀察更多的量，考察形的變化趨勢(shì)；擴(kuò)展有效數(shù)字k，提高計(jì)算精度。要對(duì)實(shí)驗(yàn)思考，歸納數(shù)列斂散與函數(shù)斂散的關(guān)系。

　　篇二：數(shù)學(xué)分析習(xí)作-數(shù)列極限與函數(shù)極限的異同

　　摘 要

　　極限是數(shù)學(xué)中極其重要的概念之一，極限的思想是人們認(rèn)知數(shù)學(xué)世界解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要武器，是高等數(shù)學(xué)這個(gè)龐大的數(shù)學(xué)體系得以建立的基礎(chǔ)和基石；

　　極限在數(shù)學(xué)中處于基礎(chǔ)的地位，它是解決微積分等一系列重要數(shù)學(xué)問(wèn)題的前提和基礎(chǔ)；

　　極限是一種思維，在學(xué)習(xí)高數(shù)時(shí)最好理解透徹了，在線(xiàn)代中沒(méi)什么用.但是概率中用的比較多，另外物理中許多都用到了極限的思維，它也能幫助更好的理解一些物理知識(shí)； 在高等數(shù)學(xué)中，極限是一個(gè)重要的概念，極限可分為數(shù)列極限與函數(shù)極限，下面是關(guān)于兩種極限的簡(jiǎn)要聯(lián)系與說(shuō)明。

　　關(guān)鍵詞：數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義，存在條件，性質(zhì)，運(yùn)算

　　一 數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義

　　1、 數(shù)列與函數(shù)：

　　a、數(shù)列的定義：數(shù)列是指按自然數(shù)編了號(hào)的一串?dāng)?shù)：x1，x2，x3，，xn，. 通常記作{xn}，也可將其看作定義在自然數(shù)集N上的'函數(shù)xn=f(n),nN， 故也稱(chēng)之為整標(biāo)函數(shù)。

　　b、函數(shù)的定義：如果對(duì)某個(gè)范圍X內(nèi)的每一個(gè)實(shí)數(shù)x，可以按照確定的規(guī)律f，

　　得到Y(jié)內(nèi)唯一一個(gè)實(shí)數(shù)y和這個(gè)x對(duì)應(yīng)，我們就稱(chēng)f是X上的函數(shù)，它在x的數(shù)值（稱(chēng)為函數(shù)值）是y，記為f(x)，即yf(x)。

　　稱(chēng)x是自變量，y是因變量，又稱(chēng)X是函數(shù)的定義域，當(dāng)x遍取X內(nèi)的所有實(shí)

　　數(shù)時(shí)，在f的作用下有意義，并且相應(yīng)的函數(shù)值f(x)的全體所組成的范圍叫作函數(shù)f的值域，要注意的是：值域不一定就是Y，它當(dāng)然不會(huì)比Y大，但它可

　　能比Y小。

　　2、 （一） 數(shù)列極限的定義：

　　對(duì)數(shù)列{xn}，若存在常數(shù)A，對(duì)0,NN,nN，有

　　n

　　x

　　數(shù)列收斂且收斂于A，并稱(chēng)數(shù)列{xn}的極限為A，記為limx

　　1

　　0. nn

　　11

　　證明：分析過(guò)程，欲使0,

　　nn

　　1

　　只需n即可，故

　　n

　　A，則稱(chēng)

　　n

　　=A.

　　例1.試用定義驗(yàn)證：lim

　　11

　　0,N1,nN:0.

　　n

　　例2.試用定義驗(yàn)證：lim(1q1).

　　n

　　證明：分析過(guò)程.欲使qn0q

　　n

　　，

　　只需n

　　lg

　　（注意lgq0）。故 lgq

　　lgn

　　0，Nmax,1,nN:q0.

　　lgq

　　對(duì)于比較復(fù)雜的表達(dá)式xnAn，一般地，我們通過(guò)運(yùn)算,適當(dāng)放大，將n

　　變形簡(jiǎn)化到n，既使得對(duì)于0由不等式n能比較容易求得N，又使得當(dāng)

　　nN時(shí)，恒成立不等式N，從而有xnnn。以下各例的解法中都

　　貫穿這一思路。

　　例3.試用定義驗(yàn)證：lim

　　n

　　n2n21

　　. 2

　　3n2n43

　　n2

　　證明：分析過(guò)程.

　　n2n215n10

　　3n22n433(3n22n4)

　　5n1

　　9n2n. 故，

　　n2n21

　　0,Nmax{,2},nN:3n22n4.

　　例4.試用定義驗(yàn)證：lima11(a1).

　　n

　　證明：分析過(guò)程.欲使a1a1n，注意到a1n， 利用不等式Bernoulli得，

　　只需n

　　a

　　.故n

　　a

　　0,N1,nN：a.

　　例5．試用定義驗(yàn)證：lim

　　n

　　n1.

　　證明:分析過(guò)程.仿照上例的證法，記n1n，有

　　n(n1)2

　　n(1n)n1n，

　　2

　　2

　　只需n.故

　　n

　　2

　　0，N21，n.N：n.

　　例6.關(guān)于數(shù)列xn，證明：若對(duì)于某個(gè)常數(shù)A以及q(0,1)，N0N，nN0：xnqxn1，

　　則有l(wèi)imxnA.

　　n

　　證明：由limqn0可知，

　　n

　　0,N1N,nN1:0q

　　n

　　qNoxN0A1

　　,于是由題設(shè)可得，

　　nmaxN0,N1:

　　xnAqnN0xN0A.

　　11

　　，nN.證明：limxn. 1xn2n

　　證明:顯然xn0，注意到 例7.設(shè)x11，xn1 xn1

　　于是由例6即得所證。

　　251xn. 32

　　5112251xn21xn21(51)(1x0)

　　（二）函數(shù)極限的定義：

　　0，Xa，x(X,)f(x)A，定義1設(shè)f:(,b)R，若存在AR，

　　則稱(chēng)當(dāng)x趨于時(shí)的極限為A，記為

　　limf(x)A或f(x)A(x).

　　n

　　類(lèi)似的，

　　設(shè)F:(,b)R，若存在AR，0,Xb,x(,X):f(x)A,

　　則稱(chēng)當(dāng)趨于-時(shí)的極限為A，記為

　　limf(x)A或f(x)A(x).

　　n

　　定義2.設(shè)f:RR，若存在AR，0,X0,xX,:f(x),,

　　則稱(chēng)當(dāng)x趨于時(shí)f(x)的極限為A，記為

　　limf(x)A或f(x)A(x).

　　x

　　下面討論當(dāng)x趨于某一實(shí)數(shù)x0時(shí)函數(shù)的變化情況

　　函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的左極限，右極限也可分別記作f(x00)，f(x00)左極限，右極限統(tǒng)稱(chēng)為單側(cè)極限.

　　若f在x0的某去心鄰域中有定義，則由定義可知：

　　lim

　　xxo

　　f(x)存在limf(x)和limf(x)均存在且相

　　xxxx00等.