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    高等數學中幾種求極限的方法

    時間:2022-03-08 15:04:30 大學數學

    高等數學中幾種求極限的方法

      極限是微積分中的一條主線,是學好微積分的重要前提條件。而此問題一般來說比較困難,要根據具體情況進行具體分析和處理,方法很多比較凌亂。以下是小編搜索整理的高等數學中幾種求極限的方法,供參考借鑒!

    高等數學中幾種求極限的方法

      一、由定義求極限

      極限的本質――既是無限的過程,又有確定的結果。一方面可從函數的變化過程的趨勢抽象得出結論,另一方面又可從數學本身的邏輯體系下驗證其結果。

      然而并不是每一道求極限的題我們都能通過直觀觀察總結出極限值,因此由定義法求極限就有一定的局限性,不適合比較復雜的題。

      二、利用函數的連續性求極限

      此方法簡單易行但不適合于f(x)在其定義區間內是不連續的函數,及f(x)在x0處無定義的情況。

      三、利用極限的四則運算法則和簡單技巧求極限

      極限四則運算法則的條件是充分而非必要的,因此,利用極限四則運算法則求函數極限時,必須對所給的函數逐一進行驗證它是否滿足極限四則運算法則條件。滿足條件者,方能利用極限四則運算法則進行求之,不滿足條件者,不能直接利用極限四則運算法則求之。但是,并非不滿足極限四則運算法則條件的函數就沒有極限,而是需將函數進行恒等變形,使其符合條件后,再利用極限四則運算法則求之。而對函數進行恒等變形時,通常運用一些簡單技巧如拆項,分子分母同乘某一因子,變量替換,分子分母有理化等等。

      四、利用兩邊夾定理求極限

      定理 如果X≤Z≤Y,而limX=limY=A,則limZ=A

      兩邊夾定理應用的關鍵:適當選取兩邊的函數(或數列),并且使其極限為同一值。

      注意:在運用兩邊夾定理求極限時要保證所求函數(或數列)通過放縮后所得的兩邊的函數(或數列)的極限是同一值,否則不能用此方法求極限。

      五、利用單調有界原理求極限

      單調有界準則即單調有界數列必定存在極限。使用單調有界準則時需證明兩個問題:一是數列的單調性,二是數列的有界性;求極限時,在等式的兩邊同時取極限,通過解方程求出合理的極限值。

      利用單調有界原理求極限有兩個難點:一是證明數列的單調性,二是證明數列的有界性,在證明數列的單調性和數列的有界性時,我們通常都采用數學歸納法。

      六、利用等價無窮小代換求極限

      在實際計算過程中利用等價無窮小代換法或與其它方法相結合,不失為一種行之有效的方法,但并非計算過程中所有的無窮小量都能用其等價的無窮小量來進行計算。用等價無窮小代換時,只能代換分子、分母中的乘積因子,而不能代換其中的加減法因子。于是用等價無窮小代換的問題便集中到對于分子、分母中的加減法因子如何進行x的等價無窮小代換這一點上,在利用等價無窮小代換的方法求極限時必須把分子(或分母)看作一個整體,用整個分子(或分母)的等價無窮小去代換。

      七、利用泰勒展式求極限

      運用等價無窮小代換方法求某些極限,往往可以減少計算量,使問題得以簡化。但一般說來,這種方法僅限于求兩個無窮小量是乘或除的極限,而對兩個無窮小量非乘或非除的極限,對于一些未能確定函數極限形態的關系式,不能用洛必達法則及等價無窮小代換方法,須用泰勒公式去求極限。

      八、利用級數收斂的必要條件求極限

      求極限的方法有很多種,在解題時,這些方法并不是孤立的,常常一個問題需要用到幾種方法。根據題目給出的條件,選擇適當的方法結合使用,能使運算更簡捷,起到事半功倍的效果。同時又能加強對微積分知識整體上的深層次認識,對學好微積分是大有裨益的。

      分數求極限的方法

      1、分式中,分子分母同除以最高次,化無窮大為無窮小計算,無窮小直接以0代入;

      2、無窮大根式減去無窮大根式時,分子有理化,然后運用(1)中的方法;

      3、運用兩個特別極限;

      4、運用洛必達法則,但是洛必達法則的運用條件是化成無窮大比無窮大,或無窮小比無窮小,分子分母還必須是連續可導函數。它不是所向無敵,不可以代替其他所有方法,一樓言過其實。

      5、用Mclaurin(麥克勞琳)級數展開,而國內普遍誤譯為Taylor(泰勒)展開。

      6、等階無窮小代換,這種方法在國內甚囂塵上,國外比較冷靜。因為一要死背,不是值得推廣的教學法;二是經常會出錯,要特別小心。

      7、夾擠法。這不是普遍方法,因為不可能放大、縮小后的結果都一樣。

      8、特殊情況下,化為積分計算。

      9、其他極為特殊而不能普遍使用的方法。

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