大學數學（高數線代）直觀理解知識
我們要有個向量組，拿里面線性無關的向量做基。賦予加法和數乘兩種運算，兩種運算的具體定義如下：
加法：
（1）（交換律）x+y=y+x；
（2）（結合律）(x+y)+z=x+(y+z)
（3）（零元素）在V中有一元素θ，對于V中任一元素x都有x+θ=x；
（4）（負元素）對于V中每一個元素x，都有V中的元素y，使得x+y=θ；
數乘
（5）（1乘律）1x=x；
（6）（結合律）k(bx)=(kb)x；
然后再考慮一下混合運算——
（7）（分配律）(k+b)x=kx+bx；（k倍的縮放加 b 倍的縮放等于k+b倍的縮放）
（8）（數因子分配律）k(x+y)=kx+ky．（合成后再縮放等于縮放后再合成）
k，b等元素屬于一個數域P（初學者就理解成R吧）。
好了，數學家拍拍手，這樣我們就得出一個向量空間了。
記住這個例子，對于很多人來說，這也許是我們第一次接觸數學里”結構“這個概念，而且也許是最后一次。而數學專業的同學以后肯定會再次接觸這個概念的。你看，我們這次構筑空間后，至少我們會在直覺里把元素和它們的運算律（映射關系）這些東西和”結構“扯上關系了。下次如果看到什么”代數結構“之類的詞也不至于一臉懵逼。
矩陣這個東西實在是個大發明，但其實就表達拿特定的向量所構筑的一個空間。搞個簡單的，比如“(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)三個向量所構筑一個三維空間”，這么長一句話的內容其實一個矩陣就表達完了——
嗯……這個是單位陣形式。當然你還可以搞各種花式構筑，比如我們用(1,2,3)(4,5,6)(7,8,9)作為基底一樣可以構筑三維空間，表達出來就是這樣子的.
。不過這些矩陣都是等價的，他們實際上都表示同一個空間，只不過描述方式不一樣罷了。
但有的時候，我們會看到這樣的
，這個按理說，應該是(1,2,3)(4,5,6)兩個向量做基底，構筑的就是二維空間，但它和
不等價。因為從理論上說，既然一個向量，用了三個坐標表示，那意味著我們已經把它放在了一個三維空間里思考，不過這兩個向量本身只能構成一個二維空間。所以總的來說，
這個矩陣表示的是一個在三維空間里的二維空間。我們稱它表示的是三維空間的一個子空間。三維空間里等級最高為三，像
的等級就達到了滿級，而
卻沒有達到滿級。哦，數學里面叫滿秩。
任何n階的滿秩矩陣就是n維空間那一定可以表示成n階單位陣
。事實上，我們知道向量是可以縮放與合成的，比如
是個以(1,2)(3,4)為基的二維空間吧，而這兩個基其實完全可以變成(1,0)(0,1)，沒錯吧。怎么變？縮放+合成嘛。也就是用之前說的加法和數乘啊。我們先把(1,2)放大嘛，放大個兩倍成(2,4)，再反個向得到(-2,-4)，然后和(3,4)合成就可以得到(1,0)了，然后再用(1,0)的反向(-1,0)和(1,2)合成，就會得到(0,2)，縮放后就是(0,1)，OK，基底變換完成。這個就是初等行變換的意思。
基礎知識基本就到這里了，也許你還沒看夠。因為之后的信息量簡直要爆炸，我處理三四天了實在沒處理得過來，只能放在下一篇了。等價相似特征值，高斯格林斯托克，還有有趣的行列式！這段時間大家多幻想一下空間的擴張，說不定自己就會有奇妙的體驗哦。
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