高一數(shù)學(xué)上冊對數(shù)與對數(shù)函數(shù)知識點(diǎn)
一般地，函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，也就是說以冪(真數(shù))為自變量，指數(shù)為因變量，底數(shù)為常量的函數(shù)，叫對數(shù)函數(shù)。以下是高一數(shù)學(xué)上冊第三單元知識點(diǎn)：對數(shù)與對數(shù)函數(shù)，希望能幫助大家學(xué)習(xí)!
一般地，如果a(a大于0，且a不等于1)的b次冪等于N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作log(a)(N)=b,其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。
底數(shù)則要大于0且不為1
對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
當(dāng)a>0且a≠1時(shí),M>0,N>0，那么：
(1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
(2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
(3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n∈R)
(4)換底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1)
對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系
當(dāng)a>0且a≠1時(shí),a^x=N x=㏒(a)N
常用簡略表達(dá)方式
(1)常用對數(shù):lg(b)=log(10)(b)
(2)自然對數(shù):ln(b)=log(e)(b)
(3) log(a)+(b)=log(a)(b)
e=2.718281828... 通常情況下只取e=2.71828
對數(shù)函數(shù)的定義
對數(shù)函數(shù)的一般形式為 y=㏒(a)x，它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)(圖象關(guān)于直線y=x對稱的兩函數(shù)互為反函數(shù))，可表示為x=a^y。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定(a>0且a≠1)，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。
右圖給出對于不同大小a所表示的.函數(shù)圖形：
可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對稱圖形，因?yàn)樗鼈兓榉春瘮?shù)。
定義域：(0，+∞)值域：實(shí)數(shù)集R
定點(diǎn)：函數(shù)圖像恒過定點(diǎn)(1，0)。
單調(diào)性：a>1時(shí)，在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，并且上凸;
0<1時(shí)，在定義域上為單調(diào)減函數(shù)，并且下凹。<1時(shí)，在定義域上為單調(diào)
奇偶性：非奇非偶函數(shù)
周期性：不是周期函數(shù)
零點(diǎn)：x=1
知識拓展：
16世紀(jì)末至17世紀(jì)初的時(shí)候，當(dāng)時(shí)在自然科學(xué)領(lǐng)域(特別是天文學(xué))的發(fā)展上經(jīng)常遇到大量精密而又龐大的數(shù)值計(jì)算，于是數(shù)學(xué)家們?yōu)榱藢で蠡喌挠?jì)算方法而發(fā)明了對數(shù)。
德國的史提非(1487-1567)在1544年所著的《整數(shù)算術(shù)》中，寫出了兩個(gè)數(shù)列，左邊是等比數(shù)列(叫原數(shù))，右邊是一個(gè)等差數(shù)列(叫原數(shù)的代表，或稱指數(shù)，德文是Exponent ，有代表之意)。
欲求左邊任兩數(shù)的積(商)，只要先求出其代表(指數(shù))的和(差)，然后再把這個(gè)和(差)對向左邊的一個(gè)原數(shù)，則此原數(shù)即為所求之積(商)，可惜史提非并未作進(jìn)一步探索，沒有引入對數(shù)的概念。
納皮爾對數(shù)值計(jì)算頗有研究。他所制造的「納皮爾算籌」，化簡了乘除法運(yùn)算，其原理就是用加減來代替乘除法。 他發(fā)明對數(shù)的動(dòng)機(jī)是為尋求球面三角計(jì)算的簡便方法，他依據(jù)一種非常獨(dú)等的與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)有關(guān)的設(shè)想構(gòu)造出所謂對數(shù)方 法，其核心思想表現(xiàn)為算術(shù)數(shù)列與幾何數(shù)列之間的聯(lián)系。在他的《奇妙的對數(shù)表的描述》中闡明了對數(shù)原理，后人稱為 納皮爾對數(shù)，記為Nap.㏒x，它與自然對數(shù)的關(guān)系為Nap.㏒x=107㏑(107/x)
由此可知，納皮爾對數(shù)既不是自然對數(shù)，也不是常用對數(shù)，與現(xiàn)今的對數(shù)有一定的距離。
瑞士的彪奇(1552-1632)也獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了對數(shù)，可能比納皮爾較早，但發(fā)表較遲(1620)。
英國的布里格斯在1624年創(chuàng)造了常用對數(shù)。
1619年，倫敦斯彼得所著的《新對數(shù)》使對數(shù)與自然對數(shù)更接近(以e=2.71828...為底)。
對數(shù)的發(fā)明為當(dāng)時(shí)社會的發(fā)展起了重要的影響，正如科學(xué)家伽利略(1564-1642)說：「給我時(shí)間，空間和對數(shù)，我可以創(chuàng)造出一個(gè)宇宙」。又如十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家拉普拉斯( 1749-1827)亦提到：「對數(shù)用縮短計(jì)算的時(shí)間來使天文學(xué)家的壽命加倍」。
最早傳入我國的對數(shù)著作是《比例與對數(shù)》，它是由波蘭的穆尼斯(1611-1656)和我國的薛鳳祚在17世紀(jì)中葉合 編而成的。當(dāng)時(shí)在lg2=0.3010中，2叫「真數(shù)」，0.3010叫做「假數(shù)」，真數(shù)與假數(shù)對列成表，故稱對數(shù)表。后來改用 「假數(shù)」為「對數(shù)」。
我國清代的數(shù)學(xué)家戴煦(1805-1860)發(fā)展了多種的求對數(shù)的捷法，著有《對數(shù)簡法》(1845)、《續(xù)對數(shù)簡法》(1846)等。1854年，英國的數(shù)學(xué)家艾約瑟(1825-1905) 看到這些著作后，大為嘆服。
當(dāng)今中學(xué)數(shù)學(xué)教科書是先講「指數(shù)」，后以反函數(shù)形式引出「對數(shù)」的概念。但在歷史上，恰恰相反，對數(shù)概念不是來自指數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)尚無分指數(shù)及無理指數(shù)的明確概念。布里格斯曾向納皮爾提出用冪指數(shù)表示對數(shù)的建議。1742年 ，J.威廉(1675-1749)在給G.威廉的《對數(shù)表》所寫的前言中作出指數(shù)可定義對數(shù)。而歐拉在他的名著《無窮小 分析尋論》(1748)中明確提出對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的逆函數(shù)，和現(xiàn)在教科書中的提法一致。
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