高中數學冪函數的性質總結
一般地.形如y=x、α(α為有理數)的函數，即以、底數為、自變量，冪為、因變量，、指數為常數的函數稱為、冪函數。下面是小編分享的高中數學冪函數的性質總結，一起來看一下吧。
高中數學冪函數的性質總結
1、函數性質
冪函數的、圖象一定會出現在、第一象限內，一定不會出現在、第四象限，至于是否出現在第二、三象限內，要看函數的、奇偶性;冪函數的圖象最多只能同時出現在兩個象限內;如果冪函數圖象與、坐標軸相交，則交點一定是、原點.
正值性質
當α>0時，冪函數y=x、α有下列性質：
a、圖像都經過點(1,1)(0,0);
b、函數的圖像在區間[0,+∞)上是、增函數;
c、在第一象限內，α>1時，、導數值逐漸增大;α=1時，導數為、常數;0<α<1時，導數值逐漸減小，趨近于0;
負值性質
當α<0時，冪函數y=x、α有下列性質：
a、圖像都通過點(1,1);
b、圖像在區間(0，+∞)上是、減函數;(內容補充：若為X、-2，易得到其為、偶函數。利用對稱性，對稱軸是y軸，可得其圖像在區間(-∞，0)上單調遞增。其余偶函數亦是如此)
c、在、第一象限內，有兩條漸近線(即坐標軸)，、自變量趨近0，函數值趨近+∞，自變量趨近+∞，函數值趨近0。
零值性質
當α=0時，冪函數y=x、a有下列性質：
a、y=x、0的圖像是直線y=1去掉一點(0,1)。它的圖像不是直線。
2、函數特性
對于α的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：
α為約分數
如果α=p/q，且p/q為、既約分數(即p，q、互質)，q和p都是、整數，則x^(p/q)=q次根號下(x的p次方)。如果q是、奇數，函數的、定義域是R;如果q是、偶數，函數的、定義域是[0,+∞)。
α為負整數
當指數α是、負整數時，設α=-k，則y=1/(x^k)，顯然x≠0，函數的定義域是(-∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在、偶數次的根號下而不能為負數，那么我們就可以知道：
α小于0時，x不等于0;
α的分母為偶數時，x不小于0;
α的分母為奇數時，x取R。
3、函數判定
冪函數的一般形式是y=x，其中，n可為任何實數，但中學階段僅研究n為有理數的情形，這時可表示為y=x^(m/k)，其中m∈Z，k∈N*，且m，k互質。特別，當k=1時為整數指數冪。
(1)當m，k都為正奇數時，如y=x，y=x，y=x^(3/5)等，定義域、值域均為R，為奇函數;
(2)當m為負奇數，k為正奇數時，如y=x^(-1)=1/x，y=x^(-3)=1/x，y=x^(-3/5)等，定義域、值域均為{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，為奇函數;
(3)當m為正奇數，k為正偶數時，如y=x^(1/2)，y=x^(3/4)等，定義域、值域均為[0，+∞)，為非奇非偶函數;
(4)當m為負奇數，k為正偶數時，如y=x^(-1/2)，y=x^(-3/4)等，定義域、值域均為(0，+∞)，為非奇非偶函數;
(5)當m為正偶數，k為正奇數時，如y=x，y=x^(2/3)等，定義域為R、值域為[0，+∞)，為偶函數;
(6)當m為負偶數，k為正奇數時，如y=x^(-2)=1/x，y=x^(-2/3)等，定義域為{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，值域為(0，+∞)，為偶函數。、[1]
4、討論分析
由于x大于0是對α的、任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數在各、象限的各自情況。可以看到：
(1)所有的圖像都通過(1，1)這點.(α≠0)、α>0時、圖象過點(、0，0)和(1，1)。
(2)、單調區間：
當α為整數時，α的正負性和奇偶性決定了函數的單調性：
①當α為正奇數時，圖像在定義域為R內單調遞增;
②當α為正偶數時，圖像在定義域為第二象限內單調遞減，在第一象限內單調遞增;
③當α為負奇數時，圖像在第一三象限各象限內單調遞減(但不能說在定義域R內單調遞減);
④當α為負偶數時，圖像在第二象限上單調遞增，在第一象限內單調遞減。
當α為分數時，α的正負性和分母的奇偶性決定了函數的單調性：
①當α>0，分母為偶數時，函數在第一象限內單調遞增;
②當α>0，分母為奇數時，函數在第一、三象限各象限內單調遞增;
③當α<0，分母為偶數時，函數在第一象限內單調遞減;
④當α<0，分母為奇數時，函數在第一、三象限各象限內單調遞減(但不能說在定義域R內單調遞減);
(3)當α>1時，冪函數圖形下凹(豎拋);
當0<α<1時，冪函數圖形上凸(橫拋);
當α<0時，圖像為雙曲線。
(4)在(0,1)上，冪函數中α越大，函數圖像越靠近x軸;在(1，﹢∞)上冪函數中α越大，函數圖像越遠離x軸。
(5)當α<0時，α越小，圖形傾斜程度越大。
(6)顯然冪函數無界限。
(7)α=2n(n為整數),該函數為偶函數、{x|x≠0}。
反函數和冪函數的知識點
1 冪函數解析式的右端是個冪的形式。冪的底數是自變量，指數是常數，可以為任何實數；與指數函數的形式正好相反。
2 冪函數的圖像和性質比較復雜，高考只要求掌握指數為1、2、3、-1、時冪函數的圖像和性質。
3 了解其它冪函數的圖像和性質，主要有：
①當自變量為正數時，冪函數的圖像都在第一象限。指數為負數的冪函數都是過點(1，1)的減函數，以坐標軸為漸近線，指數越小越靠近
x軸。指數為正數的冪函數都是過原點和(1，1)的增函數；在 x=1的右側指數越大越遠離 x 軸。
②冪函數的定義域可以根據冪的意義去求出：要么是x≥0，要么是關于原點對稱。前者只在第一象限有圖像；后者一定具有奇偶性，利用對稱性可以畫出二或三象限的圖像。注意第四象限絕對不會有圖像。
③定義域關于原點對稱的冪函數一定具有奇偶性。當指數是偶數或分子是偶數的分數時是偶函數；否則是奇函數。
4 冪函數奇偶性的一般規律：
⑴指數是偶數的冪函數是偶函數。
⑵指數是奇數的冪函數是奇函數。
⑶指數是分母為偶數的分數時，定義域 x>0或 x≥0，沒有奇偶性。
⑷指數是分子為偶數的分數時，冪函數是偶函數。
⑸指數是分子分母為奇數的分數時，冪函數是奇數函數。
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