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高中數學知識點整理：冪函數的性質

時間：2022-09-22 12:08:48 高中數學

高中數學知識點整理：冪函數的性質

　　一般地.形如y=x、α(α為有理數)的函數，即以、底數為、自變量，冪為、因變量，、指數為常數的函數稱為、冪函數。下面是小編為您收集整理的冪函數的性質，歡迎閱讀!

高中數學知識點整理：冪函數的性質

　　高中數學知識點整理：冪函數的性質1

　　冪函數的、圖象一定會出現在、第一象限內，一定不會出現在、第四象限，至于是否出現在第二、三象限內，要看函數的、奇偶性;冪函數的.圖象最多只能同時出現在兩個象限內;如果冪函數圖象與、坐標軸相交，則交點一定是、原點.

　　正值性質

　　當α>0時，冪函數y=x、α有下列性質：

　　a、圖像都經過點(1,1)(0,0);

　　b、函數的圖像在區間[0,+∞)上是、增函數;

　　c、在第一象限內，α>1時，、導數值逐漸增大;α=1時，導數為、常數;0<α<1時，導數值逐漸減小，趨近于0;

　　負值性質

　　當α<0時，冪函數y=x、α有下列性質：

　　a、圖像都通過點(1,1);

　　b、圖像在區間(0，+∞)上是、減函數;(內容補充：若為X、-2，易得到其為、偶函數。利用對稱性，對稱軸是y軸，可得其圖像在區間(-∞，0)上單調遞增。其余偶函數亦是如此)

　　c、在、第一象限內，有兩條漸近線(即坐標軸)，、自變量趨近0，函數值趨近+∞，自變量趨近+∞，函數值趨近0。

　　零值性質

　　當α=0時，冪函數y=x、a有下列性質：

　　a、y=x、0的圖像是直線y=1去掉一點(0,1)。它的圖像不是直線。

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　　對于α的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

　　α為約分數

　　如果α=p/q，且p/q為、既約分數(即p，q、互質)，q和p都是、整數，則x^(p/q)=q次根號下(x的p次方)。如果q是、奇數，函數的、定義域是R;如果q是、偶數，函數的`、定義域是[0,+∞)。

　　α為負整數

　　當指數α是、負整數時，設α=-k，則y=1/(x^k)，顯然x≠0，函數的定義域是(-∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在、偶數次的根號下而不能為負數，那么我們就可以知道：

　　α小于0時，x不等于0;

　　α的分母為偶數時，x不小于0;

　　α的分母為奇數時，x取R。

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　　冪函數的'一般形式是y=x，其中，n可為任何實數，但中學階段僅研究n為有理數的情形，這時可表示為y=x^(m/k)，其中m∈Z，k∈N，且m，k互質。特別，當k=1時為整數指數冪。

　　(1)當m，k都為正奇數時，如y=x，y=x，y=x^(3/5)等，定義域、值域均為R，為奇函數;

　　(2)當m為負奇數，k為正奇數時，如y=x^(-1)=1/x，y=x^(-3)=1/x，y=x^(-3/5)等，定義域、值域均為{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，為奇函數;

　　(3)當m為正奇數，k為正偶數時，如y=x^(1/2)，y=x^(3/4)等，定義域、值域均為[0，+∞)，為非奇非偶函數;

　　(4)當m為負奇數，k為正偶數時，如y=x^(-1/2)，y=x^(-3/4)等，定義域、值域均為(0，+∞)，為非奇非偶函數;

　　(5)當m為正偶數，k為正奇數時，如y=x，y=x^(2/3)等，定義域為R、值域為[0，+∞)，為偶函數;

　　(6)當m為負偶數，k為正奇數時，如y=x^(-2)=1/x，y=x^(-2/3)等，定義域為{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，值域為(0，+∞)，為偶函數。、[1]

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　　由于x大于0是對α的、任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數在各、象限的各自情況。可以看到：

　　(1)所有的圖像都通過(1，1)這點.(α≠0)、α>0時、圖象過點(、0，0)和(1，1)。

　　(2)、單調區間：

　　當α為整數時，α的正負性和奇偶性決定了函數的單調性：

　　①當α為正奇數時，圖像在定義域為R內單調遞增;

　　②當α為正偶數時，圖像在定義域為第二象限內單調遞減，在第一象限內單調遞增;

　　③當α為負奇數時，圖像在第一三象限各象限內單調遞減(但不能說在定義域R內單調遞減);

　　④當α為負偶數時，圖像在第二象限上單調遞增，在第一象限內單調遞減。

　　當α為分數時，α的正負性和分母的`奇偶性決定了函數的單調性：

　　①當α>0，分母為偶數時，函數在第一象限內單調遞增;

　　②當α>0，分母為奇數時，函數在第一、三象限各象限內單調遞增;

　　③當α<0，分母為偶數時，函數在第一象限內單調遞減;

　　④當α<0，分母為奇數時，函數在第一、三象限各象限內單調遞減(但不能說在定義域R內單調遞減);

　　(3)當α>1時，冪函數圖形下凹(豎拋);

　　當0<α<1時，冪函數圖形上凸(橫拋);

　　當α<0時，圖像為雙曲線。

　　(4)在(0,1)上，冪函數中α越大，函數圖像越靠近x軸;在(1，﹢∞)上冪函數中α越大，函數圖像越遠離x軸。

　　(5)當α<0時，α越小，圖形傾斜程度越大。

　　(6)顯然冪函數無界限。

　　(7)α=2n(n為整數),該函數為偶函數、{x|x≠0}。

　　高中數學知識點整理：冪函數的性質5

　　高一數學上學期知識點：冪函數

　　定義：

　　形如y=x^a(a為常數)的函數，即以底數為自變量冪為因變量，指數為常量的函數稱為冪函數。

　　定義域和值域：

　　當a為不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：如果a為任意實數，則函數的定義域為大于0的所有實數;如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函數的定義域還必須根[據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小于0，這時函數的定義域為大于0的所有實數;如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等于0的所有實數。當x為不同的數值時，冪函數的值域的不同情況如下：在x大于0時，函數的值域總是大于0的實數。在x小于0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。而只有a為正數，0才進入函數的值域

　　性質：

　　對于a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

　　首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數，則x^(p/q)=q次根號(x的p次方)，如果q是奇數，函數的定義域是R，如果q是偶數，函數的定義域是[0，+∞)。當指數n是負整數時，設a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那么我們就可以知道：

　　排除了為0與負數兩種可能，即對于x>0，則a可以是任意實數;

　　排除了為0這種可能，即對于x<0 x="">0的所有實數，q不能是偶數;

　　排除了為負數這種可能，即對于x為大于且等于0的所有實數，a就不能是負數。

　　總結起來，就可以得到當a為不同的數值時，冪函數的定義域的.不同情況如下：

　　如果a為任意實數，則函數的定義域為大于0的所有實數;

　　如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函數的定義域還必須根據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小于0，這時函數的定義域為大于0的所有實數;如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等于0的所有實數。

　　在x大于0時，函數的值域總是大于0的實數。

　　在x小于0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。

　　而只有a為正數，0才進入函數的值域。

　　由于x大于0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況.

　　可以看到：

　　(1)所有的圖形都通過(1，1)這點。