2015年全國研究生數學建模競賽試題
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2015年全國研究生數學建模競賽試題
問題一在無費用限制情況下，要求用最少的時間游遍所有201個景點。第一步，利用聚類分析方法對201個景點進行聚類。以按省份分類為主，按地理位置分類為輔，考慮實際環境，綜合各自的優勢為一體，最終劃分出20個區域。第二步，根據Hopfield網絡的有關方法，以景點間的消耗時間為參考量，建立了適用于問題一的Hopfield網絡的計算模型。并用matlab語言編寫模型的程序文件，在matlab軟件中運行后得出各個區域內的最優旅游路線。第三步，結合題干中所有的旅游限制條件，設計出前往各個區域對應的旅游線路具體行程表。第四步，計算得出游遍201個景點的最短時長為11年。
問題二在十年時間限制條件下，要求用最少的費用游遍所有201個景點。第一步，根據題目中的條件，針對十年期間的游玩總費用，建立定價模型。第二步，仍然采用問題一的聚類分析方法的結果，將201個景點聚類成20個區域。第三步，針對問題二的具體情況，以景點間的消耗時間為參考量，對Hopfield網絡的計算模型進行改進，得出各個區域內的最優旅游路線。第四步，設計出十年游遍所有景點的最低費用路線，總費用為287486.2元。
問題三在前兩個問題的基礎上，規劃出更適合全國旅游愛好者的游玩路線，并以北京市的旅游愛好者為例，給出最佳旅游路線;同時，依據當代旅游愛好者和相關旅游部門的現狀，給出合理的建議，以便旅行者獲得更好的旅行體驗，相關部門提供更好的服務質量。
問題四。
最后，對整個數學模型進行了總結分析，并作出客觀評價。
關鍵詞：聚類分析 Hopfield網絡 matlab 定價模型 最優旅游路線 最佳體驗
一.問題重述
旅游活動正在成為全球經濟發展的重要動力之一，隨著我國國民經濟的快速發展，人們生活水平得到很大提升，越來越多的人積極參與有益于身心健康的旅游活動。
附件給出了全國201個5A級景區的名單，全國高速公路，全國火車、高鐵、飛機班次等信息。一位自駕游愛好者擬按這些附件制定旅游計劃。根據該旅游愛好者的個人偏好，景點位置及開放時間的實際情況，在旅行中需要達到以下條件：
(1)該旅游愛好者每年有不超過30天的外出旅游時間，每年外出旅游的次數不超過4次，每次旅游的時間不超過15天;
(2)根據個人偏好，每個5A級景區的游覽時間不得小于附件中的要求，最長逗留時間不得超過附件中最少時間的2倍;
(3)基于安全考慮，行車時間限定于每天7:00至19:00之間，每天開車時間不超過8小時;
(4)若是全天游覽，則開車時間控制在3小時內;若是半天游覽，開車時間控制在5小時內;
(5)在高速公路上的行車平均速度為90公里/小時，在普通公路上的行車平均速度為40公里/小時;
(6)該旅游愛好者計劃在每一個省會城市至少停留24小時，以安排專門時間去游覽城市特色建筑和體驗當地風土人情(不安排景區瀏覽);
(7)選擇高鐵出行要求當天乘坐高鐵的時間不超過6個小時，乘坐高鐵或飛機的當天至多安排半天的景區游覽;
(8)景區開放時間統一為8:00至18:00;
(9)旅行中租車費用300元/天，油費和高速過路費另計，租車和還車需在同一城市;
(10)住宿費簡化為省會城市和旅游景區200元/人?天，地級市150元/人?天，縣城100元/人?天;高速公路的油耗加過路費平均為1.00元/公里，普通公路上油耗平均為0.60元/公里;
根據上述條件，需要解決下面問題：
(1)該旅行者出行先通過高速公路到達與景區鄰近的城市，再自駕到景區。以其常住地在西安市為例，規劃設計旅游線路，試確定游遍201個5A級景區至少需要幾年?給出每一次旅游的.具體行程(每一天的出發地、行車時間、行車里程、游覽景區)。
(2)若出行方式考慮乘坐高鐵或飛機到達與景區相鄰的省會城市，而后租車自駕到景區游覽。根據附件材料，建立數學模型設計一個十年游遍所有201個5A景區、費用最優、旅游體驗最好的旅游線路，給出每一次旅游的具體線路(含每次具體出行方式;每一天的出發地、費用、路途時間、游覽景區、每個景區的游覽時間)。
(3)在(2)的基礎上加以推廣，為全國的自駕游愛好者規劃設計類似的旅游線路，進而給出常住地在北京市的自駕游愛好者的十年旅游計劃;根據上述三問的結果給旅游愛好者和旅游有關部門提出建議。
(4)根據國家5A級旅游景區評定的相關信息，更合理地規劃該旅游愛好者的十年旅游計劃。
二.模型的建立與求解
2.1連續的Hopfield網絡概述
反饋網絡達穩定狀態時可以時系統的能量達極小，因而可用于一些最優化問題的計算，如何把實際問題的目標函數表達成下述二次型的能量函數是一個關鍵問題。
1N
E???2i?11T1TTE??XWX?XTI 或Tvv??v??vTv?v??ijijii22j?1i?1NN
常用的是連續型Hopfield網絡[1]，如圖1所示，每一神經元可由一個(有正反向輸出的)放大器模擬，輸入端并聯的電阻和電容可模擬生物神經元的時間常數，互相連線間的電導Tij則模擬各神經元間突觸的特性(相當權系數)。該網絡的微分方程為
Nuj?dujC?Tv??I??jjiidtRj i??v?g(u)j?j
u1 函數gi常用Sigmoid函數：vi?g(ui)?[1?i)]，u0可控制斜率，u0?0時2u0
變為階躍函數。
若g-1(·)為單調增且連續，Cj>0，?j，Tji=Tij，則沿系統軌跡有
dvjdE1N
?0,j?1,2,?,N，?0時其中E???dtdt2i?1NNdE?0，當且僅當dt1vi?1gj(vj)dvj，?0j?1RN?Tijvivj??Ijvj??j?1j?1
為系統的能量函數。
以上表明，隨著時間的演變，在狀態空間內的網絡總是朝著能量函數E減小的方向運動，網絡穩定時E取極小值。
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