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    立體幾何中的圖形觀的高中數學知識點

    時間:2022-10-21 20:38:28 高中數學

    關于立體幾何中的圖形觀的高中數學知識點

      一、作圖

    關于立體幾何中的圖形觀的高中數學知識點

      作圖是立體幾何學習中的基本功,對培養空間概念也有積極的意義,而且在作圖時還要用到許多空間線面的關系.所以作圖是解決立體幾何問題的第一步,作好圖有利于問題的解決.

      例1 已知正方體

      中,點P、E、F分別是棱AB、BC、

      的中點(如圖1).作出過點P、E、F三點的正方體的截面.

      分析:作圖是學生學習中的一個弱點,作多面體的截面又是作圖中的難點.學生看到這樣的題目不知所云.有的學生連結P、E、F得三角形以為就是所求的截面.其實,作截面就是找兩個平面的交線,找交線只要找到交線上的兩點即可.觀察所給的條件(如圖2),發現PE就是一條交線.又因為平面ABCD//平面

      ,由面面平行的性質可得,截面和面

      的交線一定和PE平行.而F是

      的中點,故取

      的中點Q,則FQ也是一條交線.再延長FQ和

      的延長線交于一點M,由公理3,點M在平面

      和平面

      的交線上,連PM交

      于點K,則QK和KP又是兩條交線.同理可以找到FR和RE兩條交線(如圖2).因此,六邊形PERFQK就是所求的截面.

      二、讀圖

      圖形中往往包含著深刻的意義,對圖形理解的程度影響著我們的正確解題,所以讀懂圖形是解決問題的重要一環.

      例2 如圖3,在棱長為a的正方體

      中,EF是棱AB上的一條線段,且EF=b

      上的定點,P在

      上滑動,則四面體PQEF的體積( ).

      (A)是變量且有最大值(B)是變量且有最小值(C)是變量無最大最小值(D)是常量

      分析:此題的解決需要我們仔細分析圖形的特點.這個圖形有很多不確定因素,線段EF的位置不定,點P在滑動,但在這一系列的變化中是否可以發現其中的穩定因素?求四面體的體積要具備哪些條件?

      仔細觀察圖形,應該以哪個面為底面?觀察

      ,我們發現它的形狀位置是要變化的,但是底邊EF是定值,且P到EF的距離也是定值,故它的面積是定值.再發現點Q到面PEF的距離也是定值.因此,四面體PQEF的體積是定值.我們沒有一點計算,對圖形的分析幫助我們解決了問題.

      三、用圖

      在立體幾何的學習中,我們會遇到許多似是而非的結論.要證明它我們一時無法完成,這時我們可考慮通過構造一個特殊的圖形來推翻結論,這樣的圖形就是反例圖形.若我們的心中有這樣的反例圖形,那就可以幫助我們迅速作出判斷.

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