高中數(shù)學(xué)：函數(shù)的基本知識點
函數(shù)是高考數(shù)學(xué)中的重點內(nèi)容，學(xué)習(xí)函數(shù)需要首先掌握函數(shù)的各個知識點，然后運用函數(shù)的各種性質(zhì)來解決具體的問題。小編為大家收集了“高中數(shù)學(xué)講解：函數(shù)的基本知識點”，供大家參考，希望對大家有所幫助!
高中數(shù)學(xué)：函數(shù)的基本知識點1
1.函數(shù)的定義
定義：設(shè)x和y是兩個變量，D是實數(shù)集R的某個子集.如果對任何的x∈D，按照某種對應(yīng)法則，變量y總有確定的值與之對應(yīng)，則稱變量y是定義在D上變量x的函數(shù)，記作y = f(x).稱D為該函數(shù)的定義域，稱x為自變，y為因變量.
當(dāng)自變量x取數(shù)值xo∈ D時，與xo對應(yīng)的因變量y的值稱為函數(shù)y=f(x)，當(dāng)x取遍D的所有數(shù)值時，對應(yīng)的變量y取值的全體組成的數(shù)集稱為函數(shù)y二f(x)的值域.
如果自變量在定義域內(nèi)任取一個值時，對應(yīng)的函數(shù)值只有一個，這種函數(shù)稱為單值函數(shù)，否則稱為多值函數(shù).
例如，y=3x+ l是單值函數(shù)，而由方程x2+y2=1確定的函數(shù)y=士√1- x2就是多值函數(shù).以后凡沒有特別說明，本書所討論的函數(shù)都是指單值函數(shù).
函數(shù)的表示法通常有三種，即表格法、圖示法和公式法。
2.函數(shù)的兩個基本要素
由函數(shù)的定義知，確定函數(shù)的兩個基本要素是定義域和對應(yīng)法則.也就是說，兩個函數(shù)只有當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)法則完全相同時，兩個函數(shù)才是相同的.
3.函數(shù)的幾種特性
(1)有界性設(shè)函數(shù)y = f(x)的定義域為D，數(shù)集X∈D，如果存在正數(shù)M，使得對于任意的x∈X，都有不等式
∣f(x) ∣≤M
成立，則稱了(x)在X上有界，如果這樣的M不存在，則稱函數(shù)在X上無界.
(2)單調(diào)性.設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)向X上有定義.如果對于任意的x1,x2 ∈ X，當(dāng)x1< x2時，均有f(x1)
(3)奇偶性設(shè)函數(shù)y = f(x)的定義域D是關(guān)于原點對稱的，如果對于任意的x∈D，均有f(x)=f(一x)，則稱.f (x)為偶函數(shù);如果對于任意的x∈ D，均有f(x)=-f(x)，則稱了(x)為奇函數(shù).
(4)周期性設(shè)函數(shù)y. = f(x)，如果存在不為零的常數(shù)T,使得對于任意x∈D均有x+T∈D，且f(x)=f(x+T)成立，則稱函數(shù)y=f(X)為周期函數(shù)，稱T為f(x)的一個周期。
顯然，若T是周期函數(shù)f(x)的周期，則kT也是f (x)的周期((k=士1，士2，士3,---).
通常我們說的周期是指最小正周期.
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（一）、映射、函數(shù)、反函數(shù)
1、對應(yīng)、映射、函數(shù)三個概念既有共性又有區(qū)別，映射是一種特殊的對應(yīng)，而函數(shù)又是一種特殊的映射。
2、對于函數(shù)的概念，應(yīng)注意如下幾點：
（1）掌握構(gòu)成函數(shù)的三要素，會判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)。
（2）掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實際問題尋求變量間的函數(shù)關(guān)系式，特別是會求分段函數(shù)的解析式。
（3）如果y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做f和g的復(fù)合函數(shù)，其中g(shù)（x）為內(nèi)函數(shù)，f（u）為外函數(shù)、
3、求函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)的一般步驟：
（1）確定原函數(shù)的值域，也就是反函數(shù)的定義域；
（2）由y=f（x）的解析式求出x=f—1（y）；
（3）將x，y對換，得反函數(shù)的習(xí)慣表達(dá)式y(tǒng)=f—1（x），并注明定義域、
注意①：對于分段函數(shù)的反函數(shù)，先分別求出在各段上的反函數(shù)，然后再合并到一起、
②熟悉的應(yīng)用，求f—1（x0）的值，合理利用這個結(jié)論，可以避免求反函數(shù)的過程，從而簡化運算、
（二）、函數(shù)的解析式與定義域
1、函數(shù)及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數(shù)是不存在的，因此，要正確地寫出函數(shù)的解析式，必須是在求出變量間的對應(yīng)法則的同時，求出函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域一般有三種類型：
（1）有時一個函數(shù)來自于一個實際問題，這時自變量x有實際意義，求定義域要結(jié)合實際意義考慮；
（2）已知一個函數(shù)的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可。如：
①分式的分母不得為零；
②偶次方根的被開方數(shù)不小于零；
③對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；
④指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1；
⑤三角函數(shù)中的正切函數(shù)y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函數(shù)y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。
應(yīng)注意，一個函數(shù)的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分（即交集）。
（3）已知一個函數(shù)的定義域，求另一個函數(shù)的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可。
已知f（x）的定義域是[a，b]，求f[g（x）]的定義域是指滿足a≤g（x）≤b的x的取值范圍，而已知f[g（x）]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f（x）的定義域，即g（x）的值域。
2、求函數(shù)的解析式一般有四種情況
（1）根據(jù)某實際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系時，必須引入合適的變量，根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)知識尋求函數(shù)的解析式。
（2）有時題設(shè)給出函數(shù)特征，求函數(shù)的`解析式，可采用待定系數(shù)法。比如函數(shù)是一次函數(shù)，可設(shè)f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b為待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，求出a，b即可。
（3）若題設(shè)給出復(fù)合函數(shù)f[g（x）]的表達(dá)式時，可用換元法求函數(shù)f（x）的表達(dá)式，這時必須求出g（x）的值域，這相當(dāng)于求函數(shù)的定義域。
（4）若已知f（x）滿足某個等式，這個等式除f（x）是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量（如f（—x），等），必須根據(jù)已知等式，再構(gòu)造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f（x）的表達(dá)式。
（三）、函數(shù)的值域與最值
1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采用何種方法求函數(shù)值域都應(yīng)先考慮其定義域，求函數(shù)值域常用方法如下：
（1）直接法：亦稱觀察法，對于結(jié)構(gòu)較為簡單的函數(shù)，可由函數(shù)的解析式應(yīng)用不等式的性質(zhì)，直接觀察得出函數(shù)的值域。
（2）換元法：運用代數(shù)式或三角換元將所給的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡單函數(shù)再求值域，若函數(shù)解析式中含有根式，當(dāng)根式里一次式時用代數(shù)換元，當(dāng)根式里是二次式時，用三角換元。
（3）反函數(shù)法：利用函數(shù)f（x）與其反函數(shù)f—1（x）的定義域和值域間的關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域，形如（a≠0）的函數(shù)值域可采用此法求得。
（4）配方法：對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法。
（5）不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈（0，+∞）]可以求某些函數(shù)的值域，不過應(yīng)注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧。
（6）判別式法：把y=f（x）變形為關(guān)于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域。其題型特征是解析式中含有根式或分式。
（7）利用函數(shù)的單調(diào)性求值域：當(dāng)能確定函數(shù)在其定義域上（或某個定義域的子集上）的單調(diào)性，可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域。
（8）數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數(shù)的值域，即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域。
2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系
求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值。因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異。
如函數(shù)的值域是（0，16]，最大值是16，無最小值。再如函數(shù)的值域是（—∞，—2]∪[2，+∞），但此函數(shù)無最大值和最小值，只有在改變函數(shù)定義域后，如x>0時，函數(shù)的最小值為2。可見定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響。
3、函數(shù)的最值在實際問題中的應(yīng)用
函數(shù)的最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價最低”，“利潤最大”或“面積（體積）最大（最小）”等諸多現(xiàn)實問題上，求解時要特別關(guān)注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值。
（四）、函數(shù)的奇偶性
1、函數(shù)的奇偶性的定義：對于函數(shù)f（x），如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f（—x）=—f（x）（或f（—x）=f（x）），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)（或偶函數(shù)）。
正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，要注意兩點：（1）定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)f（x）為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件；（2）f（x）=—f（x）或f（—x）=f（x）是定義域上的恒等式。（奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì)）。
2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需要將函數(shù)化簡或應(yīng)用定義的等價形式。
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