高中數學知識小結
第一篇:《高中數學必修1知識點總結及典型題》
高一數學必修1各章知識點總結
第一章 集合與函數概念
一、集合有關概念 1. 集合的含義
2. 集合的中元素的三個特性：
(1) 元素的確定性如：世界上最高的山
(2) 元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的無序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合
3.集合的表示：{ ? } 如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度
洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列舉法與描述法。 ? 注意：常用數集及其記法：
非負整數集（即自然數集） 記作：N
正整數集 N*或 N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R
1） 列舉法：{a,b,c??}
2） 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集
合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3） 語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn圖:
4、集合的分類：
(1) 有限集 含有有限個元素的集合 (2) 無限集 含有無限個元素的集合
2
(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x=－5｝
二、集合間的基本關系 1.“包含”關系—子集
注意：A?B有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。
?B或B??A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A?2．“相等”關系：A=B (5≥5，且5≤5，則5=5)
2
實例：設 A={x|x-1=0} B={-1,1} “元素相同則兩集合相等” 即：① 任何一個集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就說集合A是集合B的真子集，記作高中數學必修1知識點總結。
AB(或BA)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果A?B 同時 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ
規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
nn-1
? 有n個元素的集合，含有2個子集，2個真子集
例題：
1.下列四組對象，能構成集合的是 （ ） A某班所有高個子的學生 B著名的藝術家 C一切很大的書 D 倒數等于它自身的實數 2.集合{a，b，c }的真子集共有 個
3.若集合M={y|y=x-2x+1,x?R},N={x|x≥0}，則M與N的關系是 .
2
4.設集合A=x?x?2，B=xx?a，若A?B，則a的取值范圍是
??
?
?
5.50名學生做的物理、化學兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有40人，化學實驗做得正確得有31人，
兩種實驗都做錯得有4人，則這兩種實驗都做對的有 人。
6. 用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合M= .
7.已知集合A={x| x+2x-8=0}, B={x| x-5x+6=0}, C={x| x-mx+m-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值高中數學必修1知識點總結。
2
2
2
2
二、函數的有關概念 1．函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．記作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域． 注意：
1．定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。 求函數的定義域時列不等式組的主要依據是： (1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被開方數不小于零；
(3)對數式的真數必須大于零；
(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.
(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合. (6)指數為零底不可以等于零，
(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.
? 母無關）；②定義域一致 (兩點必須同時具備) (見課本21頁相關例2) 2．值域 : 先考慮其定義域 (1)觀察法 (2)配方法 (3)代換法
3. 函數圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x ∈A)的圖象．C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 . (2) 畫法 A、 描點法： B、 圖象變換法
常用變換方法有三種 1) 平移變換 2) 伸縮變換 3) 對稱變換 4．區間的概念
（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間 （2）無窮區間
（3）區間的數軸表示． 5．映射
一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A?B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f（對應關系）：A（原象）?B（象）” 對于映射f：A→B來說，則應滿足：
(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個； (3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。 6.分段函數
(1)在定義域的不同部分上有不同的`解析表達式的函數。 (2)各部分的自變量的取值情況．
(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集． 補充：復合函數
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 稱為f、g的復合函數。
二．函數的性質
1.函數的單調性(局部性質) （1）增函數
設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的高中數學必修1知識點總結。
任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是增函數.區間D稱為y=f(x)的單調增區間. 如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1<x2 時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.
注意：函數的單調性是函數的局部性質； （2） 圖象的特點
如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的. (3).函數單調區間與單調性的判定方法 (A) 定義法：
1 任取x，x∈D，且x<x； ○高中數學必修1知識點總結。
2 作差f(x)－f(x)； ○
3 變形（通常是因式分解和配方）； ○
4 定號（即判斷差f(x)－f(x)的正負）； ○
5 下結論（指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）． ○
1
2
1
2
1
2
1
2
(B)圖象法(從圖象上看升降) (C)復合函數的單調性
復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”
注意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集. 8．函數的奇偶性（整體性質） （1）偶函數
一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數． （2）．奇函數
一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數．
（3）具有奇偶性的函數的圖象的特征
偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱． 利用定義判斷函數奇偶性的步驟： 1首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱； ○
2確定f(－x)與f(x)的關系； ○
3作出相應結論：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)○
是偶函數；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函數． 注意：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件．首先看函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱，(1)再根據定義判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函數的圖象判定 . 9、函數的解析表達式
（1）.函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域. （2）求函數的解析式的主要方法有： 1) 湊配法
2) 待定系數法 3) 換元法 4) 消參法
10．函數最大（小）值（定義見課本p36頁）
1 利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值 ○
2 利用圖象求函數的最大（小）值 ○
3 利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值： ○
如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；
如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)； 例題：
1.求下列函數的定義域：
⑴y?
⑵
y?2.設函數f(x)的定義域為[0，1]，則函數f(x2)的定義域為_ _
3.若函數f(x?1)的定義域為[?2，3]，則函數f(2x?1)的定義域是
?x?2(x??1)
?4.函數 ，若f(x)?3，則x= f(x)??x2(?1?x?2)
?2x(x?2)?
5.求下列函數的值域：
⑴y?x2?2x?3 (x?R) ⑵y?x2?2x?3 x?[1,2]
(3)y?x
yf(2x?1)的解析式
6.已知函數f(x?1)?x2?4x，求函數f(x)，7.已知函數f(x)滿足2f(x)?f(?x)?3x?4，則
f(x)= 。
8.設f(x)是R上的奇函數，且當x?[0,??)時
,f(x)?x(1,則當x?(??,0)時 f(x)在R上的解析式為 9.求下列函數的單調區間： ⑴ y?x2?2x?3
⑵yf(x)=
⑶ y?x2?6x?1
10.判斷函數y??x3?1的單調性并證明你的結論． 11.設函數f(x)?
1?x2判斷它的奇偶性并且求證：1
f??f(x)． 2
1?xx
第二章 基本初等函數
一、指數函數
（一）指數與指數冪的運算
1．根式的概念：一般地，如果x?a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
? 負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作?0。
n
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