數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用
數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用非常廣泛,在實(shí)際的教學(xué)研究中也得到了很大的重視 接下來(lái)小編為你整理了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，一起來(lái)看看吧。
數(shù)學(xué)歸納法的原理
數(shù)學(xué)歸納法是一種研究與自然數(shù)有關(guān)的證明，它可以巧妙的證明結(jié)果含有n的結(jié)論。它避免了無(wú)窮次的步驟推導(dǎo)引起的邏輯問(wèn)題，是一種嚴(yán)格的演繹推理，所以它與普通的歸納法有著很大的區(qū)別。已知最早的使用數(shù)學(xué)歸納法的證明出現(xiàn)于F·莫羅利科(Francesco Maurolico)的《算數(shù)》(Arithmeticorum libri duo)(1575AD)。莫羅利科利用遞推關(guān)系巧妙地證明出前n個(gè)奇數(shù)的總和是n^2，由此總結(jié)出了數(shù)學(xué)歸納法。
數(shù)學(xué)歸納法最基本格式為：
(1)n= n0時(shí)，成立。
(2)假設(shè)n= k時(shí)成立，當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。于是根據(jù)(1)(2)可知命題對(duì)于任意n成立。舉個(gè)例子，就像一排多米諾骨牌(這個(gè)例子很經(jīng)典形象)，我們知道第一個(gè)被推倒了，我們也知道每一個(gè)與之相鄰的下一個(gè)骨牌要倒，那么你就可以推斷所有的的骨牌都將要倒。
如：證1+2+3++n=n*(n+1)/2 。按順序1.當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立。2.假設(shè)n=k時(shí)成立，當(dāng)n=k+1時(shí)，S= k*(k+1)/2+(k+1) = (k+2) (k+1)/2. 于是結(jié)果成立。
數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用
1. 所有馬都一個(gè)顏色。(即任意n匹馬都只有一個(gè)顏色)
證：當(dāng)只有1匹馬，命題成立。假設(shè)任意k匹馬都只有一個(gè)顏色，當(dāng)n=k+1時(shí)，我從中任意挑取k匹馬，這k匹馬顏色相同;我再用剩下的那只馬去換掉這群馬中的任意一只，組成新的馬群，依然有k匹馬，顏色還是相同;根據(jù)集合交并原理，可知k+1時(shí)也成立。證畢。
原來(lái)真的所有馬都一種顏色嗎?怎么可能!現(xiàn)在，我們來(lái)分析一下究竟是哪里出的錯(cuò)。我們可以看到，在第二步，當(dāng)k=1時(shí)，兩匹馬不能出現(xiàn)交集，不能推出k=2時(shí)成立。這個(gè)證明鏈在第二節(jié)斷掉了，雖然后面是連著的，但卻推不出正確結(jié)論了。所以這提示我們，即使前面第一步證明了n=1成立，第二步依然要保證n=k對(duì)任意所涉及的數(shù)也成立，包括1。
2.n人一人一頂帽子，有m頂白帽子，其余都是黑帽子。每次敲鐘，都要求所有能判斷自己為白帽子的人離開(kāi)。正在這n個(gè)無(wú)聊的人苦苦思索的時(shí)候，突然來(lái)了一個(gè)人，說(shuō)：“這里居然有人帶白帽子!”，然后飄走了。黑帽子的人很想說(shuō)“廢話!”，卻發(fā)現(xiàn)過(guò)了一會(huì)所有白帽子的人都走了(他們判斷出自己的帽子顏色了)，這是怎么回事?
好吧，我們還是用數(shù)學(xué)歸納法做一做：
命題1：我們假設(shè)只有1人白帽子，他發(fā)現(xiàn)所有人都戴黑帽子，當(dāng)飄走的那個(gè)人說(shuō)完話后，他可以立刻知道自己是白的。于是第1聲鐘響后這1個(gè)白帽可確認(rèn)。
命題2：假設(shè)只有2個(gè)人白，其中一個(gè)人發(fā)現(xiàn)有只有1個(gè)人白帽，如果命題1成立，即只有他是白帽，他應(yīng)該鐘響1下后立刻離開(kāi)，可他不走。所以說(shuō)明命題1不成立，一定有2個(gè)白帽——自己和他!于是第2聲鐘響后這2個(gè)白帽可確認(rèn)。
假設(shè)命題k成立，命題n=k+1時(shí)，假設(shè)只有k+1個(gè)白帽，其中一人發(fā)現(xiàn)：有k個(gè)白帽，如果是命題k，他們?cè)诘趉聲鐘響后應(yīng)該全部離開(kāi)，可是沒(méi)走，所以一定自己是白帽子讓他們不能判斷。于是在第k+1聲鐘響后，k+1白帽可全部確認(rèn)離開(kāi)。結(jié)論成立。
所以，那句廢話雖然對(duì)黑帽子沒(méi)有，但對(duì)白帽子而言是卻是歸納法的第一塊多米諾骨牌。
3.在《不可思議?》這本書(shū)里還有一個(gè)更那啥的題，經(jīng)改編如下：有一個(gè)殺人狂把兩個(gè)人分別關(guān)在兩個(gè)密室，分別告訴他們兩個(gè)相鄰正自然數(shù)，兩個(gè)人雖然知道數(shù)字相鄰，卻不知道對(duì)方的數(shù)。計(jì)時(shí)開(kāi)始后，每分鐘他們都有一次機(jī)會(huì)選擇確認(rèn)按鈕，確認(rèn)的消息可以被雙方聽(tīng)見(jiàn)。只有知道另一方數(shù)字是多少的人才能出去。快快，生路在哪里?
這看起來(lái)好像無(wú)解，假如我知道自己的數(shù)是27，怎么判斷對(duì)方究竟是26還是28，難道出去的概率是50%?
不，概率是100%，唯一的生路在那個(gè)每分鐘一次確認(rèn)按鈕上(且確認(rèn)消息可通知雙方)。當(dāng)A的數(shù)是1，則在第1分鐘便可知道B的數(shù)是2(因?yàn)椴皇?)。當(dāng)A的數(shù)是2，則有兩種情況，B是1或3，如果是1，B在第一分鐘會(huì)確認(rèn)，如果B沒(méi)確認(rèn)，則B是3。所以假設(shè)當(dāng)A為k時(shí)，A會(huì)在第k分鐘推理出B的數(shù)字，則當(dāng)A=k+1時(shí)，如果第k分鐘B沒(méi)有動(dòng)靜，則可以判斷B的數(shù)不是k，而是k+2，所以在下一分鐘即k+1分鐘時(shí)A推理出數(shù)字，結(jié)論成立。
論數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
一、在數(shù)列問(wèn)題中應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，引導(dǎo)學(xué)生掌握解題思路與方法
在高考中，一些與數(shù)學(xué)歸納法相關(guān)的題目往往會(huì)與數(shù)列結(jié)合起來(lái)考察，在求數(shù)列相關(guān)問(wèn)題時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生采用數(shù)學(xué)歸納法先假設(shè)后證明，清晰地梳理出解題思路，從而求得正確答案。例如，已知數(shù)列{an}，其中a2=6,（an+1+an-1）/(an+1-an+1)=n。
（1）求a1，a3，a4。
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
對(duì)于第一小問(wèn)，首先，將n=1，n=2，n=3分別代入上式中，得(a2+a1-1)/(a2-a1+1)=1①；（a3+a2-1）/(a3-a2+1)=2 ②；(a4+a3-1)/（a4-a3+1）=3③；將已知條件a2=6代入①②式，可求出a1=1，a3=15，再將求出的a3的值代入③式中，得a4=28，便解決了第一小問(wèn)的問(wèn)題。這類題目對(duì)于學(xué)生的思維和邏輯能力要求并不高，在解題過(guò)程中，學(xué)生們都不難算出答案。對(duì)于第二小問(wèn)，由于目前所知的條件為數(shù)列前四項(xiàng)的具體數(shù)值，且除了一個(gè)遞推公式外無(wú)其他信息。此時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生去歸納總結(jié)已知信息的規(guī)律，通過(guò)前四項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征猜想出數(shù)列通項(xiàng)，再用數(shù)學(xué)歸納法先假設(shè)后證明，最后得出答案。
關(guān)于這道題目，可以將數(shù)列的前四項(xiàng)分別寫(xiě)為a1=1*1，a2=2*3，a3=3*5，a4=4*7，觀察其結(jié)構(gòu)特征，可以發(fā)現(xiàn)前四項(xiàng)的值可以表示為一個(gè)正整數(shù)與一個(gè)奇數(shù)的乘積。即：a1=1*(2*1-1)，a2=2*(2*2-1)，a3=3*(2*3-1)，a4=4*(2*4-1)，由此可以推測(cè)an=n*(2n-1)。
下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a1=1*(2*1-1)=1，結(jié)論正確。
當(dāng)n=2時(shí)，a2=2*(2*2-1)=6，結(jié)論正確。
②假設(shè)當(dāng)n=m(m≥2，m屬于正整數(shù))時(shí)結(jié)論成立，即am=m*(2m-1)，那么當(dāng)n=m+1時(shí)，有（am+1+am-1）/（am+1-am+1）=m，解得：
(m-1)am+1=(m+1)am-(m+1)
=(m+1)*m(2m-1)-(m+1)
=(m+1)(2m+1)(m-1)
因?yàn)閙-1≠0,所以，am+1=(m+1)(2m+1)
=(m+1)[2(m+1)-1]
所以當(dāng)n=m時(shí)，結(jié)論正確。
綜上，{an}的通項(xiàng)公式是an=n*(2n-1)。
在解決與數(shù)列相關(guān)的證明問(wèn)題時(shí)，直接證明往往很不容易，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思路，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法輔助證明，拓展學(xué)生的解題思路，提升學(xué)生的解題速度和準(zhǔn)確率。
二、在幾何問(wèn)題中運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，提升學(xué)生的解題能力
在高中數(shù)學(xué)中，學(xué)生的一項(xiàng)重要能力就是解題。解題不僅能使學(xué)生深化理解和掌握知識(shí)點(diǎn)，還有助于增強(qiáng)其自信心。在幾何板塊中，有些難度較高的題無(wú)法用常規(guī)方法去解決，這時(shí)就需要將特殊轉(zhuǎn)化為一般的方法來(lái)處理。所以，數(shù)學(xué)歸納法在幾何問(wèn)題中也有多方面的應(yīng)用，包括幾何問(wèn)題的計(jì)算、證明、構(gòu)圖等。現(xiàn)舉一例來(lái)說(shuō)明，在一個(gè)幾何平面中，有n條直線，任意的兩條直線都相交，而任意的三條直線都不共點(diǎn)，求證：此幾何平面中n條直線共有Pn=1/2*(n-1)*n個(gè)交點(diǎn)。
在此題中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從題目中發(fā)現(xiàn)隱藏的信息，幫助學(xué)生順利解題。首先由題目可知，n≥2，n屬于正整數(shù)，雖然題目中沒(méi)有其他的信息，但積累的數(shù)學(xué)常識(shí)也能使我們知道：如果兩條直線相交，那么這兩條直線相交于一點(diǎn)。即n=2時(shí)，P2=1。所以，首先假設(shè)n=2，將其代入Pn=1/2*(n-1)*n中，得Pn=1，所以結(jié)論成立。其次，假設(shè)n=a，那么Pa=1/2(a-1)*a，而當(dāng)n=a+1時(shí)，分析題意，結(jié)合“任意的兩條直線相交，而任意的三條直線都不共點(diǎn)”可得，當(dāng)在a條直線的基礎(chǔ)上增加一條直線時(shí)，共增加a個(gè)交點(diǎn)。因此，當(dāng)n=a+1時(shí)，Pa+1=1/2(a-1)*a+a=a*(1/2a-1/2+1)=a*(1/2a+1/2)=a*1/2(a+1)=1/2(a+1)*a，所以當(dāng)n=a時(shí)，結(jié)論成立。綜上，此幾何平面中n條直線共有Pn=1/2*(n-1)*n個(gè)交點(diǎn)。
由此可見(jiàn)，對(duì)于此類幾何問(wèn)題的解決，主要是將特殊問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般問(wèn)題，首先需要進(jìn)行假設(shè)，得出一般性的結(jié)論，然后將其作為假設(shè)條件運(yùn)用到解題中。當(dāng)特殊性完成驗(yàn)證后，對(duì)假設(shè)命題n=k進(jìn)行證明，最后取n=k+1，證明假設(shè)依然成立。在此過(guò)程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題思路和解題步驟進(jìn)行歸納總結(jié)，力求做到舉一反三，融會(huì)貫通。
三、合理利用數(shù)學(xué)歸納法解題，培養(yǎng)學(xué)生推理能力與邏輯思維
在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行解題時(shí)，學(xué)生需要樹(shù)立“歸納、猜想、證明”的解題思想，這就需要教師在教學(xué)過(guò)程中注意培養(yǎng)學(xué)生的這種能力。在平常的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該向?qū)W生講述數(shù)學(xué)歸納法的由來(lái)，什么是數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的重要性等，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的興趣。教師還應(yīng)關(guān)注學(xué)生對(duì)該類型題目的歸納整理，使學(xué)生能合理運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決特定問(wèn)題。在解題過(guò)程中，注意對(duì)學(xué)生“目標(biāo)意識(shí)”的培養(yǎng)，使其不盲目使用數(shù)學(xué)歸納法，而是基于方法，巧妙轉(zhuǎn)化問(wèn)題，將困難重重的題目通過(guò)“歸納、猜想、證明”的解題思想解決問(wèn)題。這不僅能提高學(xué)生邏輯思維與推理能力，也能使學(xué)生在成功解題后產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，使其不斷進(jìn)步。
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