高等數學：矩陣和空間的思想
矩陣和空間的思想是高等數學的一個考點。下面小編為大家介紹高等數學：矩陣和空間的思想，希望能幫到大家！
我在這里，把線性代數歸于高等數學的范疇，因為它的理論適用于很多高等數學求解的領域，例如多項微分方程組的求解，離不開它。方程組，有什么物理/幾何的意義嗎?有，就是一種映射關系。下圖中，左圖代表了2維到2維的一一映射，注意，Ax=0只有0解代表對于滿秩矩陣A，[0]只能被映射為[0]。右圖代表A不滿秩，就是2維映射到1維的情況，一個線段映射到一個點，也就是存在一個"解系"。
換個角度，由于線性映射常常就是線性變換，也就是映射回本身的集合映射，所以AX=B也可以看成是某種交點的性質。根據向量之間相交的情況區分，定解(直線或面交于一點，1和2中的交點)，無窮解(直線平行或面多面共線，這個線就構成解系。1種的紅黃色重合線和3中的共線)，或者無解(平行或面沒有公共交點，1中的平行線和4中的平行交線)。如下圖所示。
符號系統還有什么作用？在線性代數和微分方程里面的算子理論就是符號系統的一種形式。如果ax=b有解，那么x=(a^-1)*b，其中|a|=0，我們可以推出對于矩陣方程組Ax=B有確定解，,那么這個解集是x=(A^-1)*b。這里-1表示逆矩陣，*表示矩陣相乘，其中|A|!=0。這樣的表示是正確的科學的，要做的事情就是看看A^-1如何表示和得到。|A|不是絕對值而是行列式。A此時稱為可逆矩陣----這個相當于實數運算里面要保證分母!=0。是不是很相似？
可逆有什么性質：如果對一個矩陣做線性變換，使用一個滿秩的矩陣，那么做變換的結果，秩不變。要注意，把矩陣當成算子的時候，乘法的交換律不一定成立。秩的加法律和乘法律r(AB)>=r(A)+r(B),r(A+B)<=r(A)+r(B)。秩的性質類似于開根號。兩個性質，(1)A*B=I，那么A和B都可逆。(2)B可逆，A^2+AB+B^2=0，那么求證A和A+B可逆。證明：A(A+B)=-B^2。|-B^2|=(-1)^n*|B|^2!=0，所以A和A+B都可逆。什么又是N階可逆矩陣呢？A*T(A)=I的矩陣就是了。推廣的說，把分塊矩陣的元素可以看作普通的矩陣元素，那么線性變換的結果相似，只是4則運算的單位從"1"變成了單位矩陣"I"。我們從一元方程得到類似的一元矩陣符號運算的性質。說白了，代數意義上就是雙射。
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