小學三年級奧數講解及練習題：重疊問題
一、知識要點
三（1）班準備給參加班級繪畫比賽的16位同學和參加朗讀比賽的12位同學每人發一份紀念品，當中隊長玲玲將28份紀念品發下去時，卻多出5份，這是怎么回事？對了，因為有5位同學既參加了繪畫比賽，又參加了朗讀比賽，所以獎品就多出了5份。數學中，我們將這樣的問題稱為重疊問題。
解答重疊問題要用到數學中的一個重要原理——包含與排除原理，即當兩個計數部分有重復包含時，為了不重復計數，應從它們的和中排除重復部分。
解答重疊問題的應用題，必須從條件入手進行認真的分析，有時還要畫出圖示，借助圖形進行思考，找出哪些是重復的，重復了幾次？明確求的是哪一部分，從而找出解答方法。
二、精講精練
【例題1】六一兒童節，學校門口掛了一行彩旗。小張從前數起，紅旗是第8面；從后數起，紅旗是第10面。這行彩旗共多少面？
【思路導航】根據題意，畫出下圖：
從圖上可以看出，從前數起紅旗是第8面，從后數起是第10面，這樣紅旗就數了兩次，重復了一次，所以這行彩旗共有8＋10－1=17面。
練習1：
1.小朋友排隊做操，小明從前數起排在第4個，從后數起排在第7個。這隊小朋友共有多少人？
2.學校組織看文藝演出，冬冬的座位從左數起是第12個，從右數起是第21個。這一行座位有多少個？
3.同學們排隊去參觀展覽，無論從前數還是從后起起，李華都排在第8個。這一排共有多少個同學？
【例題2】同學們排隊做操，每行人數同樣多。小明的位置從左數起是第4個，從右數起是第3個，從前數起是第5個，從后數起是第6個。做操的同學共有多少個？
【思路導航】根據題意，畫出下圖：
由圖可看出：小明的位置從左數第4個，右數第3個，說明橫行有4＋3－1=6個人；從前數第5個，從后數第6個，說明豎行有5＋6－1=10人，所以做操的同學共有：6×10=60人。
練習2：
1.同學們排隊跳舞，每行、每列人數同樣多。小紅的位置無論從前數從后數，從左數還是從右數起都是第4個。跳舞的共有多少人？
2.為慶祝“六一”，同學們排成每行人數相同的鮮花隊，小華的位置從左數第2個，從右數第4個；從前數第3個，從后數第5個。鮮花隊共多少人？
3.三（4）班排成每行人數相同的隊伍入場參加校運動會，梅梅的位置從前數是第6個，從后數是第5個；從左數、從右數都是第3個。三（4）班共有學生多少人？
【例題3】把兩塊一樣長的木板像下圖這樣釘在一起成了一塊木板。如果這塊釘在一起的木板長 120厘米，中間重疊部分是16厘米，這兩塊木板各長多少厘米？
【思路導航】把等長的兩塊木板的.一端釘起來，釘在一起的長度就是重疊部分，重疊的部分是16厘米，所以這兩塊木板的總長度是120＋16=136厘米，每塊木板的長度是136÷2=68厘米。
練習3：
1.把兩段一樣長的紙條粘合在一起，形成一段更長的紙條。這段更長的紙條長30厘米，中間重疊部分是6厘米，原來兩段紙條各長多少厘米？
2.把兩塊一樣長的木板釘在一起，釘成一塊長35厘米的木板。中間重合部分長11厘米，這兩塊木板各長多少厘米？
3.兩根木棍放在一起（如圖），從頭到尾共長66厘米，其中一根木棍長48厘米，中間重疊部分長12厘米。另一根木棍長多少厘米？
【例題4】一次數學測試，全班36人中，做對第一道聰明題的有21人，做對第二道聰明題的有18人，每人至少做對一道。問兩道聰明題都做對的有幾人？
【思路導航】根據題意，畫出下圖：
圖中間重疊部分表示兩道題都做對的人數，把做第一道題和做對第二道題的人數加起來得21＋18=39人，這39人比全班總人數36多出了39－36=3人，這多出的3人既在做對第一題的人數中算過，也在做對第二道題的人數中算過，即表示兩道題都做對的人數。
練習4：
1.三（1）班有學生55人，每人至少參加賽跑和跳繩比賽中的一種。已知參加賽跑的有36人，參加跳繩的有38人。兩項比賽都參加的有幾人？
2.兩塊木板各長75厘米，像下圖這樣釘成一塊長130厘米的木板，中間重合部分是多少厘米？
3.三（5）班有42名同學，會下象棋的有21名同學，會下圍棋的有17名，兩種棋都不會的有10名。兩種棋都會下的有多少名？
【例題5】三（1）班訂《數學報》的有32人，訂《閱讀報》的有30人，兩份報紙都訂的有10人，全班每人至少訂一種報紙。三（1）班有學生多少人？
【思路導航】根據題意，畫出下圖：
從上圖可以看出，中間重疊部分表示兩份報紙都訂的10人，這10人既被包括在訂《數學報》的32人內，又被包括在訂《閱讀報》的30人內，重復算了一次，所以要算出全班人數，必須從32＋30=62人中去掉被重復算過的10人。所以全班人數應是62－10=52人。
練習5：
1.三（4）班做完語文作業的有37人，做完數學作業的有42人，兩種作業都完成的有31人，每人至少完成一種作業。三（4）班共有學生多少人？
2.兩塊木板各長90厘米，像下圖這樣釘成一塊木板，中間重合部分是15厘米，這塊釘在一起的木板總長多少厘米？
3.三年級有107個小朋友去春游，帶礦泉水的有78人，帶水果的有77人，每人至少帶一種。三年級既帶礦泉水又帶水果的小朋友有多少人？
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