大學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容：微積分是什么
導(dǎo)語(yǔ)：微積分(Calculus)是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分(Differentiation)、積分(Integration)以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。下面是小編為您收集整理的資料，希望對(duì)您有所幫助。
歷史
從微積分成為一門學(xué)科來(lái)說(shuō)，是在17世紀(jì)，但是積分的思想早在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。
積分學(xué)的早期史
公元前7世紀(jì)，古希臘科學(xué)家、哲學(xué)家泰勒斯就對(duì)球的面積、體積、與長(zhǎng)度等問(wèn)題的研究就含有微積分思想。公元前3世紀(jì)，古希臘的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家阿基米德(公元前287~前212)的著作《圓的測(cè)量》和《論球與圓柱》中就已含有積分學(xué)的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉(zhuǎn)雙曲線所得的體積的問(wèn)題中就隱含著近代積分的思想。中國(guó)古代數(shù)學(xué)家也產(chǎn)生過(guò)積分學(xué)的萌芽思想，例如三國(guó)時(shí)期的劉徽，他對(duì)積分學(xué)的思想主要有兩點(diǎn)：割圓術(shù)及求體積問(wèn)題的設(shè)想。
微積分產(chǎn)生
到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問(wèn)題需要解決，這些問(wèn)題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來(lái)，大約有四種主要類型的問(wèn)題：第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速度的問(wèn)題。第二類問(wèn)題是求曲線的切線的問(wèn)題。第三類問(wèn)題是求函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題。第四類問(wèn)題是求曲線長(zhǎng)、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的`物體作用于另一物體上的引力。數(shù)學(xué)首先從對(duì)運(yùn)動(dòng)(如天文、航海問(wèn)題等)的研究中引出了一個(gè)基本概念，在那以后的二百年里，這個(gè)概念在幾乎所有的工作中占中心位置，這就是函數(shù)——或變量間關(guān)系——的概念。緊接著函數(shù)概念的采用，產(chǎn)生了微積分，它是繼歐幾里得幾何之后，全部數(shù)學(xué)中的一個(gè)最大的創(chuàng)造。圍繞著解決上述四個(gè)核心的科學(xué)問(wèn)題，微積分問(wèn)題至少被十七世紀(jì)十幾個(gè)最大的數(shù)學(xué)家和幾十個(gè)小一些的數(shù)學(xué)家探索過(guò)。其創(chuàng)立者一般認(rèn)為是牛頓和萊布尼茨。在此，我們主要來(lái)介紹
這兩位大師的工作。
實(shí)際上，在牛頓和萊布尼茨作出他們的沖刺之前，微積分的大量知識(shí)已經(jīng)積累起來(lái)了。十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問(wèn)題作了大量的研究工作，如法國(guó)的費(fèi)馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格;英國(guó)的巴羅、瓦里士;德國(guó)的開(kāi)普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹(shù)的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。
例如費(fèi)馬、巴羅、笛卡爾都對(duì)求曲線的切線以及曲線圍成的面積問(wèn)題有過(guò)深入的研究，并且得到了一些結(jié)果，但是他們都沒(méi)有意識(shí)到它的重要性。在十七世紀(jì)的前三分之二，微積分的工作沉沒(méi)在細(xì)節(jié)里，作用不大的細(xì)微末節(jié)的推理使他們筋疲力盡了。只有少數(shù)幾個(gè)大數(shù)學(xué)家意識(shí)到了這個(gè)問(wèn)題，如詹姆斯·格里高利說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)的真正劃分不是分成幾何和算術(shù)，而是分成普遍的和特殊的”。而這普遍的東西是由兩個(gè)包羅萬(wàn)象的思想家牛頓和萊布尼茨提供的。十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績(jī)是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問(wèn)題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線問(wèn)題(微分學(xué)的中心問(wèn)題)，一個(gè)是求積問(wèn)題(積分學(xué)的中心問(wèn)題)。
牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無(wú)窮小分析，這正是現(xiàn)時(shí)數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來(lái)源。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來(lái)考慮的。
牛頓
牛頓在1671年寫了《流數(shù)術(shù)和無(wú)窮級(jí)數(shù)》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無(wú)窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量，把這些流動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問(wèn)題是：已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑，求給定時(shí)刻的速度(微分法);已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程(積分法)。
萊布尼茨
德國(guó)的萊布尼茨(又譯“萊布尼茲”)是一個(gè)博才多學(xué)的學(xué)者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)，這篇文章有一個(gè)很長(zhǎng)而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無(wú)理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算》。就是這樣一篇說(shuō)理也頗含糊的文章，卻有劃時(shí)代的意義。它已含有現(xiàn)代的微分符號(hào)和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。他是歷史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)，這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響。現(xiàn)今我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的。
基本內(nèi)容
數(shù)學(xué)分析
研究函數(shù)，從量的方面研究事物運(yùn)動(dòng)變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數(shù)學(xué)分析。
從廣義上說(shuō)，數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學(xué)科，但是現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積分等同起來(lái)，數(shù)學(xué)分析成了微積分的同義詞，一提數(shù)學(xué)分析就知道是指微積分。
微積分
微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué)。
微分學(xué)的主要內(nèi)容包括：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。
積分學(xué)的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分等。
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