實數與實數的定義
實數，是有理數和無理數的總稱。數學上，實數定義為與數軸上的點相對應的數。下面是小編為您收集整理的有關實數與實數的定義相關資料，希望對您有所幫助。
實數的定義
實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。但僅僅以列舉的方式不能描述實數的整體。實數和虛數共同構成復數。
實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類。實數集通常用黑正體字母 R 表示。R表示n 維實數空間。實數是不可數的。實數是實數理論的核心研究對象。
所有實數的集合則可稱為實數系(real number system)或實數連續統。任何一個完備的阿基米德有序域均可稱為實數系。在保序同構意義下它是惟一的，常用R表示。由于R是定義了算數運算的運算系統，故有實數系這個名稱。
實數可以用來測量連續的量。理論上，任何實數都可以用無限小數的方式表示，小數點的右邊是一個無窮的數列(可以是循環的，也可以是非循環的)。在實際運用中，實數經常被近似成一個有限小數(保留小數點后 n 位，n為正整數)。在計算機領域，由于計算機只能存儲有限的小數位數，實數經常用浮點數來表示。
歷史
在公元前500年左右，以畢達哥拉斯為首的希臘數學家們認識到有理數在幾何上不能滿足需要，但畢達哥拉斯本身并不承認無理數的存在。 直到17世紀，實數才在歐洲被廣泛接受。18世紀，微積分學在實數的基礎上發展起來。1871年，德國數學家康托爾第一次提出了實數的嚴格定義。
根據日常經驗，有理數集在數軸上似乎是“稠密”的，于是古人一直認為用有理數即能滿足測量上的實際需要。以邊長為1厘米的正方形為例，其對角線有多長?在規定的精度下(比如誤差小于0.001厘米)，總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果(比如1.414厘米)。但是，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現，只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度，這徹底地打擊了他們的數學理念;他們原以為：
任何兩條線段(的長度)的比，可以用自然數的比來表示。
正因如此，畢達哥拉斯本人甚至有“萬物皆數”的信念，這里的數是指自然數(1 , 2 , 3 ，...)，而由自然數的比就得到所有正有理數，而有理數集存在“縫隙”這一事實，對當時很多數學家來說可謂極大的打擊;見第一次數學危機。
從古希臘一直到17世紀，數學家們才慢慢接受無理數的存在，并把它和有理數平等地看作數;后來有虛數概念的引入，為加以區別而稱作“實數”，意即“實在的數”。在當時，盡管虛數已經出現并廣為使用，實數的嚴格定義卻仍然是個難題，以至函數、極限和收斂性的概念都被定義清楚之后，才由十九世紀末的戴德金、康托等人對實數進行了嚴格處理。
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