小學奧數題及答案解析
1.三邊均為整數，且最長邊為11的三角形有多少個？
參考答案：
11,11,11;11,11,10;11,11,9;...11,11,1;
11,10,10;11,10,9;...11,10,2;
11,9,9;...11,9,3;
11,8,8;...11,8,4;
11,7,7,...11,7,5;
11,6,6;
1+3+5+7+9+11=6^2=36
如果將11改為n的話，
n=2k-1時，為k^2個三角形；
n=2k時，為(k+1)k個三角形。
2.已知各項均為正整數的算術級數，其中一項是完全平方數，證明：此級數一定含有無窮多個完全平方數．
參考答案
證明：首先由級數各項為正可知公差d>=0,d=0,則a1=a2=a3=...=an=...所以只要有一項為完全平方數，所有項均為完全平方數，由于級數的項數為無限，所以命題得證。
d>0，時d一定為正整數。不妨設第i項為完全平方數ai=k^2(i=1,2,3,...),則ai+(2k+d)d=k^2+2kd+d^2=(k+d)^2,也為完全平方數，所以第i+(2k+d)d項為完全平方數，一般的有i+(2nk+n^2d)(n=1,2,3,...)項均為完全平方數（數學歸納法的`證明略），由于n可取無窮項，所以命題得證。
綜上命題成立。
3.求所有的素數p，使4p^2＋1和6p^2＋1也是素數．
參考答案
考慮p對5的余數,余數為1時
余數為1時：4p^2+1≡4*1+1≡0(mod5)，由于4p^2+1>=4*2^2+1=17,而又可以被5整除，所以一定不是素數；
余數為2時：6p^2+1≡6*4+1≡0(mod5)，由于6p^2+1>=6*2^2+1=25,而又可以被5整除，所以一定不是素數；
余數為3時：6p^2+1≡6*9+1≡0(mod5)，由于6p^2+1>=6*2^2+1=25,而又可以被5整除，所以一定不是素數；
余數為4時：4p^2+1≡4*16+1≡0(mod5)，由于4p^2+1>=4*2^2+1=17,而又可以被5整除，所以一定不是素數；
所以由上可知5|p，然而p是質數，所以p只能是5。
4.證明存在無限多個自然數a有下列性質：對任何自然數n，z＝n^4＋a都不是素數．
參考答案
證明：利用費馬小定理的另一種形式p|n^(p-1)-1,(p為質數,n為任意自然數)，所以p-1=4,p=5,5|n^4-1,所以5|n^4-1+5,5|n^4+4,5|n^4+9,5|n^4+14...由于n^4+9>5,所以a=9,14,19,24,...5k+4(k=1,2,3,...)均可使z＝n^4＋a都不是素數，所以命題得證。
5.證明：如果p和p＋2都是大于3的素數，那么6是p＋1的因數
參考答案
p p+1 p+2 是3個連續自然數其中必有一個數被3整除,
已知 P P+2是素數, P P+2不能被3整除. 則P+1能被3整除.
又, P是素數, P一定是奇數, P+1是偶數,
故P+1必被6整除.
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