哪些燈還亮著的奧數題及答案
一個房間中有100盞燈，用自然數1，2，…，100編號，每盞燈各有一個開關.開始時，所有的燈都不亮.有100個人依次進入房間，第1個人進入房間后，將編號為1的倍數的燈的開關按一下，然后離開;第2個人進入房間后，將編號為2的倍數的燈的.開關按一下，然后離開;如此下去，直到第100個人進入房間，將編號為100的倍數的燈的開關按一下，然后離開.問：第100個人離開房間后，房間里哪些燈還亮著?
【答案解析】
對于任何一盞燈，由于它原來不亮，那么，當它的開關被按奇數次時，燈是開著的;當它的開關被按偶數次時，燈是關著的;根據題意可知，當第100個人離開房間后，一盞燈的開關被按的次數，恰等于這盞燈的編號的因數的個數;要求哪些燈還亮著，就是問哪些燈的編號的因數有奇數個.顯然完全平方數有奇數個因數.所以用平方數編號的燈是亮著的.而內的完全平方數有 ，所以當第100個人離開房間后，房間里還亮著的燈的編號是：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100.
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