大學數學知識點：曲線積分
在數學中，曲線積分或路徑積分是積分的一種。積分函數的取值沿的不是區間，而是特定的曲線，稱為積分路徑。曲線積分有很多種類，當積分路徑為閉合曲線時，稱為環路積分或圍道積分。下面是其相關內容，一起來學習下吧：
基本簡介：
舉例
先看一個例子：設有一曲線形構件占xOy面上的一段曲線 ，
設構件的密度分布函數為ρ(x,y)，設ρ(x,y)定義在L上且在L上連續，求構件的質量。對于密度均勻的物件可以直接用ρV求得質量;對于密度不均勻的物件，就需要用到曲線積分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds;L是積分路徑，∫ρ(x,y)ds就叫做對弧長的曲線積分。
定義
設L為xOy平面上的一條光滑的簡單曲線弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一點列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成 n個小弧段ΔLi的'長度為ds，又Mi(x,y)是L上的任一點，作乘積f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds，記λ=max(ds) ，若Σ f(x,y)i*ds的極限在當λ→0的時候存在，且極限值與L的分法及Mi在L的取法無關，則稱極限值為f(x,y)在L上對弧長的曲線積分，記為：∫f(x,y)*ds ;其中f(x,y)叫做被積函數，L叫做積分曲線，對弧長的曲線積分也叫第一類曲線積分。
(上述定義并不完全嚴謹，給出新的定義)：在矢量場A中，任取一連接點P0與P1的光滑曲線c，此時向量OP0記作R0，向量OP1記作R1，用ΔR表示位于曲線C的切線上，以切點為始點而模 (其中ΔR為粗體)等于弧元ΔR的小矢量，作標積ΔU=A ΔR= ΔR，A是ΔR始點的矢量， 是A在弧的切線 上的投影。將所有弧元ΔR的標積相加，并使弧元數量無限制增加且使得每一弧元長度趨向于0，求U的極限，所以U=。我們稱U為矢量A沿曲線c的曲線積分。
類別
曲線積分分為：對弧長的曲線積分 (第一類曲線積分)
對坐標軸的曲線積分(第二類曲線積分)
兩種曲線積分的區別主要在于積分元素的差別;對弧長的曲線積分的積分元素是弧長元素ds;例如：對L的曲線積分∫f(x,y)*ds 。對坐標軸的曲線積分的積分元素是坐標元素dx或dy，例如：對L’的曲線積分∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy。但是對弧長的曲線積分由于有物理意義，通常說來都是正的，而對坐標軸的曲線積分可以根據路徑的不同而取得不同的符號。
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