高中數(shù)學(xué)分類討論方法
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高中數(shù)學(xué)分類討論方法
高中數(shù)學(xué)中分類討論是一種非常重要的解題策略，在分類討論中，通過不斷地對題目的知識點(diǎn)進(jìn)行化整為零、歸類整理，將題目包含的多種知識點(diǎn)與情況逐次分析，從而達(dá)到解題的目的。
1.分類討論的含義與解題步驟
分類討論是一種邏輯方法，也是一種常見的解題思路，在解題過程中分類討論的應(yīng)用十分廣泛。我們在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，經(jīng)常會遇到一些不能用同一標(biāo)準(zhǔn)，或同一運(yùn)算，或同一類型來概括的問題，因此，需要分成若干個局部問題去解決，需要化整為零，各個擊破，這就是分類討論思想。一般地來說，引起分類討論的原因大致可以歸納為以下幾點(diǎn)：
一是，由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論，如絕對值的定義、不等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線與平面所成角、直線的斜率等，這類問題要以定義所受的限制條件來分類。二是，由數(shù)學(xué)運(yùn)算、定理、公式引起的分類，如除法運(yùn)算中除式不為零，在實(shí)數(shù)集內(nèi)偶次方根的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式的兩邊同乘以一個正數(shù)還是負(fù)數(shù)等。三是，由函數(shù)性質(zhì)引起的分類討論，如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，最值問題。四是，由圖形位置的不確定性引起的分類討論，如角的終邊所在象限，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等。五是，由參數(shù)的變化范圍引起的分類討論，如含參數(shù)的方程或不等式，直線的點(diǎn)斜式或斜截式方程等。
在對數(shù)學(xué)問題的研究與解答中，分類討論可以依據(jù)題給數(shù)據(jù)的共性與特性進(jìn)行劃分，具體步驟為：首先要明確討論的對象與解題中心，這里要全面審題，將已知條件進(jìn)行羅列；其次要根據(jù)已知條件進(jìn)行科學(xué)分類，其分類的標(biāo)準(zhǔn)可以根據(jù)條件的屬性、數(shù)量等進(jìn)行確定，要做到不重不漏；最后要對解題過程進(jìn)行總結(jié)。
2.分類討論在解題中的應(yīng)用與思考
例題已知mR，求函數(shù)f（x）=（4-3m）x2-2x+m在區(qū)間[0，1]上的`最大值。
解析：由于當(dāng)4-3m=0時，f（x）是一次函數(shù)，當(dāng)4-3m0時，f（x）是二次函數(shù)，因函數(shù)圖像的開口方向不同，求最大值的方法也不同，所以應(yīng)對m分類討論。
（1）當(dāng)4-3m=0時，即m=43時，函數(shù)y=-2x+43，它在[0，1]上是減函數(shù)，所以f（x）max=f（0）=43。
（2）當(dāng)4-3m0時，即m43時，f（x）是二次函數(shù)。
①若4-3m0，即m43，二次函數(shù)f（x）的圖像開口向上，對稱軸x=14-3m0，它在[0，1]上的最大值只能在區(qū)間端點(diǎn)取得，f（0）=m，f（1）=2-2m。
當(dāng)m2-2m，又m43，即2343時，f（x）max=m；
當(dāng)m2-2m，又m43，即m23時，f（x）max=2（1-m）。
②若4-3m0，即m43，二次函數(shù)f（x）的圖像開口向下，對稱軸x=14-3m0，它在[0，1]上是減函數(shù)，所以f（x）max=f（0）=m。
綜上所述，由（1）（2）可知，這個函數(shù)的最大值為f（x）max=2-2mm23，mm23。
思考：本題的分類比較復(fù)雜，因此要注意不重不漏。當(dāng)開口向上時，能不能按對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行討論呢？二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容，我們在平時的學(xué)習(xí)過程中應(yīng)如何熟練掌握呢？
拓展
高中數(shù)學(xué)常用的教學(xué)方法有哪些
1.講授法是一種教學(xué)方法，教師使用口語來描述情境，敘述事實(shí)，解釋概念，論證原則和澄清規(guī)則。
2..談話法又稱回答法，是通過教師和學(xué)生之間的對話傳播和學(xué)習(xí)知識的方法。其特點(diǎn)是教師指導(dǎo)學(xué)生利用現(xiàn)有的經(jīng)驗和知識回答教師提出的問題，獲取新知識或鞏固和檢查所獲得的知識。
3.討論方法是一種方法，使整個班級或小組圍繞某個中心問題發(fā)表自己的意見和看法，共同探索，互相激勵，進(jìn)行頭腦風(fēng)暴和學(xué)習(xí)。
4.演示方法是一種教學(xué)方法，教師通過現(xiàn)代教學(xué)方法向?qū)W生展示物理或物理圖像進(jìn)行觀察，或通過示范實(shí)驗，使學(xué)生獲得知識更新。它是一種輔助教學(xué)方法，通常與講座，對話，討論等結(jié)合使用。
5.練習(xí)法是學(xué)生在教師指導(dǎo)下鞏固知識，培養(yǎng)各種學(xué)習(xí)技能的基本方法。這也是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的一項重要實(shí)踐活動。
6.實(shí)驗法是一種教學(xué)方法，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下使用某些設(shè)備和材料，通過操作引起實(shí)驗對象的某些變化，并通過觀察這些變化獲得新知識或驗證知識。一種常用于自然科學(xué)學(xué)科的方法。
7.實(shí)習(xí)是一種教學(xué)方法，學(xué)生可以使用某些實(shí)習(xí)場所，參加某些實(shí)習(xí)，掌握一定的技能和相關(guān)的直接知識，或者驗證間接知識并全面應(yīng)用所學(xué)知識。
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