關(guān)于數(shù)論問題的奧數(shù)題
導(dǎo)語：數(shù)論問題在奧數(shù)競賽中一直是熱點(diǎn)和難點(diǎn)，以下是小編為大家精心整理的關(guān)于數(shù)論問題的奧數(shù)題，歡迎大家參考！
今天的目標(biāo)是解2004年華杯賽真題，所用知識不超過小學(xué)4年級，讓你家小朋友試一試，每天進(jìn)步一小點(diǎn)：
三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，中間一個(gè)是完全平方數(shù)，將這樣的三個(gè)連續(xù)正整數(shù)相乘，積稱為“美妙數(shù)”。問所有的“美妙數(shù)”的最大公約數(shù)是多少？
該題目屬于數(shù)論問題，解題思路可化為以下三道題目：
題目一（簡單）
三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，中間一個(gè)是完全平方數(shù)，將這樣的三個(gè)連續(xù)正整數(shù)相乘，積稱為“美妙數(shù)”。請問任意的“美妙數(shù)”能否被3整除？
題目二（中等難度）
三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，中間一個(gè)是完全平方數(shù)，將這樣的三個(gè)連續(xù)正整數(shù)相乘，積稱為“美妙數(shù)”。請問任意的`“美妙數(shù)”能否被4整除？
題目三（進(jìn)階思考,華杯賽真題）
三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，中間一個(gè)是完全平方數(shù)，將這樣的三個(gè)連續(xù)正整數(shù)相乘，積稱為“美妙數(shù)”。問所有的“美妙數(shù)”的最大公約數(shù)是多少？
以下為答案：
題目一：
答:能。
任意3個(gè)連續(xù)的數(shù)，中間一定有1個(gè)是3的倍數(shù)。
而“美妙數(shù)”是3個(gè)連續(xù)正整數(shù)相乘，一定可以被3整除。
題目二：
答: 能。
假設(shè)構(gòu)成“美妙數(shù)”的中間一個(gè)數(shù)是n*n，對n的奇偶性進(jìn)行討論：
當(dāng)n是奇數(shù)，n*n-1和n*n+1都是偶數(shù)，乘積可以被4整除；
當(dāng)n是偶數(shù)，n*n能被4整除，乘積可以被4整除。
題目三：
答:60。
從題目一和二知道，“美妙數(shù)”是3的倍數(shù)，也是4的倍數(shù)。
又因?yàn)橥耆椒綌?shù)的最后一位數(shù)字只能是1、4、5、6、9、0，將上述數(shù)字當(dāng)作中間數(shù)，三個(gè)連續(xù)的數(shù)字中一定有一個(gè)可以被5整除。
因此，“美妙數(shù)”也是5的倍數(shù)。
故：“美妙數(shù)”是60=3*4*5的倍數(shù)。
又因?yàn)樽钚〉拿烂顢?shù)是60，
所以，所有的“美妙數(shù)”的最大公約數(shù)是60。
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