高中數(shù)學數(shù)列知識最新整理2017
導語：數(shù)列是以正整數(shù)集為定義域的函數(shù)，是一列有序的數(shù)。數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項下面是小編為大家整理的,數(shù)學知識，更多相關信息請關注CNFLA學習網(wǎng)!
數(shù)列的相關概念
1.數(shù)列概念
①數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。其特殊性主要表現(xiàn)在其定義域和值域上。數(shù)列可以看作一個定義域為正整數(shù)集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函數(shù)，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。
②用函數(shù)的觀點認識數(shù)列是重要的思想方法，一般情況下函數(shù)有三種表示方法，數(shù)列也不例外，通常也有三種表示方法：a.列表法;b。圖像法;c.解析法。其中解析法包括以通項公式給出數(shù)列和以遞推公式給出數(shù)列。
③函數(shù)不一定有解析式，同樣數(shù)列也并非都有通項公式。
等差數(shù)列
1.等差數(shù)列通項公式
an=a1+(n-1)d
n=1時a1=S1
n≥2時an=Sn-Sn-1
an=kn+b(k,b為常數(shù))推導過程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b則得到an=kn+b
2.等差中項
由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以堪稱最簡單的等差數(shù)列。這時，A叫做a與b的等差中項(arithmeticmean)。
有關系：A=(a+b)÷2
3.前n項和
倒序相加法推導前n項和公式：
Sn=a1+a2+a3+·····+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①
Sn=an+an-1+an-2+······+a1
=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②
由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n個)=n(a1+an)
∴Sn=n(a1+an)÷2
等差數(shù)列的前n項和等于首末兩項的和與項數(shù)乘積的一半：
Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2
Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)
亦可得
a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷n
an=2sn÷n-a1
有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
4.等差數(shù)列性質
一、任意兩項am，an的關系為：
an=am+(n-m)d
它可以看作等差數(shù)列廣義的通項公式。
二、從等差數(shù)列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N*
三、若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有am+an=ap+aq
四、對任意的k∈N*，有
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差數(shù)列。
等比數(shù)列
1.等比中項
如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項。
有關系：
注：兩個非零同號的實數(shù)的等比中項有兩個，它們互為相反數(shù)，所以G²=ab是a,G,b三數(shù)成等比數(shù)列的必要不充分條件。
2.等比數(shù)列通項公式
an=a1*q’(n-1)(其中首項是a1，公比是q)
an=Sn-S(n-1)(n≥2)
前n項和
當q≠1時，等比數(shù)列的前n項和的公式為
Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1*q’n)/(1-q)(q≠1)
當q=1時，等比數(shù)列的.前n項和的公式為
Sn=na1
3.等比數(shù)列前n項和與通項的關系
an=a1=s1(n=1)
an=sn-s(n-1)(n≥2)
4.等比數(shù)列性質
(1)若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則am·an=ap·aq;
(2)在等比數(shù)列中，依次每k項之和仍成等比數(shù)列。
(3)從等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}
(4)等比中項：q、r、p成等比數(shù)列，則aq·ap=ar²，ar則為ap，aq等比中項。
記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底指數(shù)冪后構成一個等差數(shù)列;反之，以任一個正數(shù)C為底，用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構造冪Can，則是等比數(shù)列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構”的。
(5)等比數(shù)列前n項之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q)
(6)任意兩項am，an的關系為an=am·q’(n-m)
(7)在等比數(shù)列中，首項a1與公比q都不為零。
注意：上述公式中a’n表示a的n次方。
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