高中數(shù)學(xué)三角形余弦定理以及公式
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1什么是三角形余弦定理
三角形余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個(gè)邊求角的問(wèn)題，若對(duì)余弦定理加以變形并適當(dāng)移于其它知識(shí)，則使用起來(lái)更為方便、靈活。直角三角形的'一個(gè)銳角的鄰邊和斜邊的比值叫這個(gè)銳角的余弦值。
2三角形余弦定理的公式
對(duì)于邊長(zhǎng)為a、b、c而相應(yīng)角為A、B、C的三角形，有：
a²=b²+c²-bc·cosA
b²=a²+c²-ac·cosB
c²=a²+b²-ab·cosC
也可表示為：
cosC=(a²+b²-c²)/ab
cosB=(a²+c²-b²)/ac
cosA=(c²+b²-a²)/bc
這個(gè)定理也可以通過(guò)把三角形分為兩個(gè)直角三角形來(lái)證明。
如果這個(gè)角不是兩條邊的夾角，那么三角形可能不是唯一的(邊-邊-角)。要小心余弦定理的'這種歧義情況。
3三角形余弦定理的證明
平面向量證法(覺(jué)得這個(gè)方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本來(lái)還是由余弦定理得出來(lái)的，怎么又能反過(guò)來(lái)證明余弦定理)∵如圖，有a+b=c(平行四邊形定則：兩個(gè)鄰邊之間的.對(duì)角線代表兩個(gè)鄰邊大小)
∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|Cos(π-θ)
(以上粗體字符表示向量)
又∵Cos(π-θ)=-Cosθ
∴c²=a²+b²-2|a||b|Cosθ(注意：這里用到了三角函數(shù)公式)
再拆開(kāi)，得c²=a²+b²-2abcosC
即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b
同理可證其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是將cosC移到左邊表示一下。
平面幾何證法
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所對(duì)的邊為c，∠B所對(duì)的邊為b，∠A所對(duì)的邊為a
則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根據(jù)勾股定理可得：
AC²=AD²+DC²
b²=(sinBc)²+(a-cosBc)²
b²=(sinB*c)²+a²-2accosB+(cosB)²c²
b²=(sinB2+cosB2)c²-2accosB+a²
b²=c²+a²-2accosB
cosB=(c²+a²-b²)/2ac
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