高一數學周期函數的定義域性質

高一數學關于周期函數的定義域性質

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　　提出問題：f(x)=sinx (x>0)是周期函數嗎?;周期函數定義域是R嗎?若T是f(x)的周期，那么kT(k屬于Z)必是f(x)的周期嗎?

　　首先明確：一、有限區間、無限區間;二、非空數集的有界、無界與確界;三、再解疑周期函數的定義域與周期;四、教師參考.探討如下

　　一、有限區間、無限區間：

　　1.有限區間

　　：

　　= 開區間

　　;

　　= 閉區間

　　;

　　半開(半閉)區間.

　　2.無限區間

　　：

　　;二、非空數集的有界、無界與確界

　　1.上界、上確界： 設A為R中的一個非空數集.若存在實數M，使得對一切xA，都有xM, 則稱M為數集A的上界。所有上界中最小的一個叫數集= ;

　　;. ;A的上確界。

　　2.下界、下確界: 設A為R中的一個非空數集.若存在實數M，使得對一切xA，都有xM, 則稱M為數集A的下界。所有下界中最大的一個叫數集A的下確界。

　　3. 非空數集有界：設A為R中的一個非空數集，若數集A“有上界且有下界”, 則稱數集A有界。如

　　有限區間類：a,b;a,b;a,b;a,b。

　　間斷類型：1,25;1,24,5, 6

　　4. 非空數集無界：設A為R中的一個非空數集，若數集A“無上界或無下界”, 則稱數集A無界。(A無界含有三種情況：無上界;無下界;無上界且無下界。)如

　　無限區間類: ,a;,a;a,;a,;,

　　間斷類型：,24,5;1,25,;xxk,kN; 2xxk,kZ 2

　　注意：函數的定義域是非空數集應分有界與無界兩類。即有限區間雙側有界，間斷雙側有界;無限區間單側無界，無限區間雙側無界，間斷單側無界與間斷雙側側無界。(定義域分為有限區間與無限區間不確切)

　　三、 函數的定義域與周期

　　1.周期函數的定義(舊人教、新課標版一樣)：對于函數y=f(x)，如果存在常數T≠0，使得當x取定義域內每一個值時， 都有f(x+T) = f(x)，那么函數y= f(x)就叫周期函數，T就叫這個函數的周期。 若所有周期T中存在一個最小的正數，則稱它為最小正周期。

　　注意：①定義中“存在常數T≠0”,其意是可存在正數T，也可存在負數T，還可二者都存在，不是正負同時存在才行。

　　②定義中“x取定義域內每一個值”時，都有f(x+T) = f(x)，即恒成立的意思。

　　結論：⑴其實有周期函數定義和注意①②不難得出周期函數的定義域有不同的三種形式，：定義域左側無界;定義域右側無界;定義域雙側無界。(定義域為左側無限區間;定義域為右側無限區間;定義域雙側無限區間;不妥因由間斷)。

　　⑵周期T有不同的三種形式形式：有正周期不一定有負周期;有負周期不一定有正周期;有正周期不一定有最小正周期。舉例如下

　　例1：f(x)sinx(x0) 解：周期T=2。無負周期，定義域右側無界，有最小正周期。

　　例2：f(x)sinx(x0) 解：周期T=-2。無正周期，定義域左側無界，無最小正周期。

　　例3：f(x)sinx(xR) 解：周期T=2。有正負周期，定義域雙側無界，有最小正周期。

　　例4f(x)tanx(x0,xk

　　右側無界，有最小正周期。 2,kZ) 解：周期T=。無負周期，定義域

　　例5: f(x)tanx(x0,xk

　　2,kZ) 解：周期T=-。無正周期，定

　　義域左側無界，無最小正周期。

　　例6: f(x)tanx(xk

　　側無界，有最小正周期。

　　例7: f(x)C(xR) 解：任意T0都是周期。有正負周期，定義域雙側無界，無最小正周期。

　　例8: f(x)Cxa,b 解：非周期函數。

　　例9:f(x)=0,x為整數 解：周期T=1。有正負周期，定義域雙側無界，有最小正周期。

　　例10lgsin(x) 解：周期T=2。有正負周期，定義域雙側無界，有最小正周期。 2,kZ) 解：周期T=。有正負周期，定義域雙

　　1(x為有理數)例11克雷Dirichlet函數f(x) 解：周期為任意T0實數。

　　0(x為無理數)

　　有正負周期，定義域雙側無界，無最小正周期。

　　2. 周期函數性質：①T是函數f(x)的周期，則對于任意的正整數k∈N*，kT是f(x)的周期。應該把那個k∈Z改成k∈N*.

　　②若T1,T2都為函數f(x)的周期，且T1T20，則T1T2也是f(x)的周期.

　　注意：T是函數f(x)的周期，則對于任意的整數k0kz，kT是f(x)的周期不正確。

　　四、教師參考

　　為什么對周期函數的定義域與周期理解有異議哪?其原因是中學與大學教材定義不一樣。

　　1. 大學周期函數的定義：對于函數y=f(x)，如果存在常數T≠0，使得當x取定

　　義域內每一個值時，都有f(x±T)=f(x)，那么函數y= f(x)就叫周期函數，T

　　就叫這個函數的周期。 若所有周期T中存在一個最小的正數，則稱它為最小正周期。

　　結論：⑴定義域雙側無界。

　　⑵周期T：有正周期必有負周期;有負周期必有正周期;有正周期不一定有最小正周期。

　　性質：此時周期函數的性質可變為：

　　(1) 若T是f(x)的周期，則-T也是f(x)的周期;

　　(2) 若T是f(x)的周期，則kT也是f(x)的周期，其中k是非零整數;

　　(3) 若T1、T2是f(x)的周期，則T1±T2也是f(x)的周期;

　　(4) 若T是f(x)的最小正周期，則f(X)的所有周期組成的集合為{t|t=kT,k∈Z, k≠0};

　　(5 若f(x)是周期函數，則f(x)的定義域一定是雙側無界的。

　　2. 嚴格按照課本，如果課本上沒有明確定義，我想像高考這種考試會避開這類問題。因為這種定義，是觀察了實際中的事物或現象后，在數學上找一個可以反映這種規律的數學定義，很難說哪一種定義更符合人們的初衷，而且還可能會有一些奇怪的例子，很不符合最初的觀念。

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