關于2016高三最容易出錯的函數(shù)與導數(shù)易錯考點
導語：學習要有三心，一信心，二決心，三恒心。下面是小編為大家整理的,數(shù)學知識點。希望對大家有所幫助,歡迎閱讀，僅供參考，更多相關的知識，請關注CNFLA學習網(wǎng)!
1函數(shù)與導數(shù)知識點
1.函數(shù)的定義域與值域都是非空數(shù)集.求函數(shù)相關問題易忽略“定義域優(yōu)先”原則或求錯函數(shù)的定義域.如求f(x)=ln(x2-3x+2)的單調(diào)區(qū)間，只考慮t=x2-3x+2與函數(shù)y=ln t的單調(diào)性，忽視t>0的限制條件;求函數(shù)f(x)=的定義域時，只考慮到x>0，x≠0，而忽視ln x≠0的限制.
2.考生應注意函數(shù)奇偶性的定義，易忽視函數(shù)定義域關于坐標原點對稱的限制條件;求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，易盲目在多個單調(diào)區(qū)間之間添加符號“∪”.
3.不能準確理解基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì).如函數(shù)y=ax(a>0，a≠1)的單調(diào)性忽視字母a的取值討論，忽視ax>0;對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0，a≠1)忽視真數(shù)與底數(shù)的限制條件.
4.考生易混淆函數(shù)的零點和函數(shù)圖象與x軸的交點，不能把函數(shù)零點、方程的解、不等式解集的端點值進行準確互化.
5.不能準確記憶基本初等函數(shù)的圖象，不能準確利用函數(shù)圖象平移、伸縮變換得到所需函數(shù)的圖象，如畫出函數(shù)f(x)=lg(1-x)的圖象時，不能通過對y=lg x的圖象正確進行變換得到.
6.不能準確把握常見的函數(shù)模型，導致函數(shù)建模出錯，易忽視函數(shù)實際應用中的定義域等;遺漏運算結果后面的單位與最后題目的結論(答案).
7.不能準確理解導函數(shù)的幾何意義，易忽視切點(x0，f(x0))既在切線上，又在函數(shù)圖象上，導致某些求導數(shù)的問題不能正確解出.
8.考生易錯記基本初等函數(shù)的導數(shù)以及錯用函數(shù)求導法則，導致錯求函數(shù)的導數(shù).
9.考生易混淆函數(shù)的極值與最值的概念，錯以為f′(x0)=0是函數(shù)y=f(x)在x=x0處有極值的充分條件.
10.考生易混淆求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍兩類問題，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間直接轉化為f′(x)>0或f′(x)<0的解集;而已知函數(shù)在區(qū)間M上單調(diào)遞增(減)，則要轉化為f′(x)≥0或f′(x)≤0的恒成立問題.
2函數(shù)與導數(shù)易錯考點
求函數(shù)定義域忽視細節(jié)致誤
錯因分析：函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，因此要求定義域就要根據(jù)函數(shù)解析式把各種情況下的自變量的限制條件找出來，列成不等式組，不等式組的解集就是該函數(shù)的定義域。
在求一般函數(shù)定義域時要注意下面幾點：
(1)分母不為0;
(2)偶次被開放式非負;
(3)真數(shù)大于0;
(4)0的0次冪沒有意義。
函數(shù)的定義域是非空的數(shù)集，在解決函數(shù)定義域時不要忘記了這點。對于復合函數(shù)，要注意外層函數(shù)的定義域是由內(nèi)層函數(shù)的值域決定的。
帶有絕對值的函數(shù)單調(diào)性判斷錯誤
錯因分析：帶有絕對值的函數(shù)實質(zhì)上就是分段函數(shù)，對于分段函數(shù)的單調(diào)性，有兩種基本的判斷方法：
一是在各個段上根據(jù)函數(shù)的解析式所表示的函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)區(qū)間，最后對各個段上的單調(diào)區(qū)間進行整合;
二是畫出這個分段函數(shù)的圖象，結合函數(shù)圖象、性質(zhì)進行直觀的判斷。研究函數(shù)問題離不開函數(shù)圖象，函數(shù)圖象反應了函數(shù)的所有性質(zhì)，在研究函數(shù)問題時要時時刻刻想到函數(shù)的圖象，學會從函數(shù)圖象上去分析問題，尋找解決問題的方案。
對于函數(shù)的幾個不同的單調(diào)遞增(減)區(qū)間，千萬記住不要使用并集，只要指明這幾個區(qū)間是該函數(shù)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即可。
求函數(shù)奇偶性的常見錯誤
錯因分析：求函數(shù)奇偶性的常見錯誤有求錯函數(shù)定義域或是忽視函數(shù)定義域，對函數(shù)具有奇偶性的前提條件不清，對分段函數(shù)奇偶性判斷方法不當?shù)取?/p>
判斷函數(shù)的奇偶性，首先要考慮函數(shù)的定義域，一個函數(shù)具備奇偶性的必要條件是這個函數(shù)的定義域區(qū)間關于原點對稱，如果不具備這個條件，函數(shù)一定是非奇非偶的函數(shù)。
在定義域區(qū)間關于原點對稱的前提下，再根據(jù)奇偶函數(shù)的定義進行判斷，在用定義進行判斷時要注意自變量在定義域區(qū)間內(nèi)的任意性。
抽象函數(shù)中推理不嚴密致誤
錯因分析：很多抽象函數(shù)問題都是以抽象出某一類函數(shù)的共同“特征”而設計出來的，在解決問題時，可以通過類比這類函數(shù)中一些具體函數(shù)的性質(zhì)去解決抽象函數(shù)的性質(zhì)。
解答抽象函數(shù)問題要注意特殊賦值法的應用，通過特殊賦值可以找到函數(shù)的不變性質(zhì)，這個不變性質(zhì)往往是進一步解決問題的突破口。
抽象函數(shù)性質(zhì)的證明是一種代數(shù)推理，和幾何推理證明一樣，要注意推理的嚴謹性，每一步推理都要有充分的條件，不可漏掉一些條件，更不要臆造條件，推理過程要層次分明，書寫規(guī)范。
函數(shù)零點定理使用不當致誤
錯因分析：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，這個c也是方程f(c)=0的根，這個結論我們一般稱之為函數(shù)的零點定理。
函數(shù)的零點有“變號零點”和“不變號零點”，對于“不變號零點”，函數(shù)的零點定理是“無能為力”的，在解決函數(shù)的零點時要注意這個問題。
混淆兩類切線致誤
錯因分析：曲線上一點處的切線是指以該點為切點的曲線的切線，這樣的切線只有一條;曲線的過一個點的切線是指過這個點的曲線的所有切線，這個點如果在曲線上當然包括曲線在該點處的切線，曲線的過一個點的切線可能不止一條。因此求解曲線的切線問題時，首先要區(qū)分是什么類型的切線。
混淆導數(shù)與單調(diào)性的關系致誤
錯因分析：對于一個函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)，如果認為函數(shù)的導函數(shù)在此區(qū)間上恒大于0，就會出錯。
研究函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的關系時一定要注意：一個函數(shù)的導函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增(減)的充要條件是這個函數(shù)的導函數(shù)在此區(qū)間上恒大(小)于等于0，且導函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上都不恒為零。
導數(shù)與極值關系不清致誤
錯因分析：在使用導數(shù)求函數(shù)極值時，很容易出現(xiàn)的`錯誤就是求出使導函數(shù)等于0的點，而沒有對這些點左右兩側導函數(shù)的符號進行判斷，誤以為使導函數(shù)等于0的點就是函數(shù)的極值點。
出現(xiàn)這些錯誤的原因是對導數(shù)與極值關系不清。可導函數(shù)在一個點處的導函數(shù)值為零只是這個函數(shù)在此點處取到極值的必要條件，在此提醒廣大考生在使用導數(shù)求函數(shù)極值時一定要注意對極值點進行檢驗。
3函數(shù)與導數(shù)易錯題
(一)在下面9個小題中，有3個表述不正確，請在題后用“√”或“×”判定，并改正過來.
1.設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù). ( )
2.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(0,1);對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(1,0). ( )
3.設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1
4.ab=N⇔b=logaN(a>0，a≠1)是解決“指數(shù)、對數(shù)”運算問題的關鍵.( )
5.函數(shù)y=f(x)的零點是方程f(x)=0的實數(shù)根，所以方程f(x)=0有實數(shù)根⇔函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點⇔函數(shù)y=f(x)有零點. ( )
6.幾個重要的求導公式：(xn)′=n·xn-1(n∈N*)，(sin x)′=cos x，(cos x)′=
sin x，(ax)′=ax·ln a，(logax)′=(a>0，a≠1). ( )
7.如果函數(shù)f(x)，g(x)是可導函數(shù)，則[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)，
′=(g(x)≠0). ( )
8.在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f′(x)>0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增;如果f′(x)<0.那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減. ( )
9.函數(shù)f(x)在x0處有f′(x0)=0，且在點x=x0附近的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0，則f(x0)叫函數(shù)y=f(x)的極大值;若在點x=x0附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0，則f(x0)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值，函數(shù)的極大值可能會小于函數(shù)的極小值. ( )
名師點撥
1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.√ 6.× 7.√ 8.√ 9.×
第3題，第9題沒有理解函數(shù)最值和極大(小)值的概念，第6題記錯y=cos x，y=logax的求導公式.
訂正3 設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1
訂正6 幾個重要的求導公式：(xn)=nxn-1(n∈N*)，(sin x)′=cos x，(cos x)′=-sin x，(ax)′=axln a，(loga x)′=(a>0，a≠1).
訂正9 函數(shù)f(x)在x0處有f′(x0)=0，且在點x=x0附近的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0，則f(x0)叫函數(shù)y=f(x)的極小值;若在點x=x0附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0，則f(x0)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.函數(shù)的極大值可能會小于函數(shù)的極小值.
(二)在下面10個小題中，有3個表述不正確，請在題后用“√”或“×”判定，并改正過來.
1.函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=a(a∈R)的交點可能是0個、1個或2個.( )
2.f(x)為奇函數(shù)⇔f(x)的圖象關于原點對稱，f(x)為偶函數(shù)⇔f(x)的圖象關于y軸對稱.存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)：f(x)=0. ( )
3.奇函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相反的單調(diào)性. ( )
4.若滿足f(x+a)=f(x-a)，則f(x)是周期函數(shù)，T=2a;若滿足f(x+a)=，則f(x)是周期函數(shù)，T=2a(a≠0，a為常數(shù)). ( )
5.若f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關于x=a對稱;如果f(x)滿足f(x)=
-f(2a-x)，則函數(shù)f(x)的圖象關于點(a,0)對稱. ( )
6.函數(shù)y=ax與y=logax(a>0，a≠1)的圖象關于直線y=x對稱，且兩函數(shù)在各自定義域上具有相同的單調(diào)性. ( )
7.函數(shù)零點的存在性：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上，有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0.如果f(x)在(a，b)上單調(diào)，則y=f(x)在(a，b)內(nèi)有唯一的零點. ( )
8.f′(x0)是曲線y=f(x)在點P(x0，y0)處的切線斜率，相應的切線方程是y-y0=f′(x0)(x-x0). ( )
9.f′(x)≥0是可導函數(shù)f(x)在x∈(a，b)內(nèi)是增函數(shù)的充要條件;f′(x0)=0是可導函數(shù)在x=x0處取得極值的必要條件. ( )
10.判斷極值時，需檢驗f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右的符號，如果在根的左側附近為正，右側附近為負，那么函數(shù)y=f(x)在這個根處取得極大值;如果在根的左側附近為負，右側附近為正，那么函數(shù)y=f(x)在這個根處取得極小值. ( )
名師點撥
1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 9.× 10.√
第1題不符合函數(shù)定義;第7題不滿足零點存在定理的條件;第9題錯誤理解函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關系.
訂正1 函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=a(a∈R)的交點可能是0個或1個，即最多有一個交點.
訂正7 函數(shù)零點的存在性：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一的零點.
訂正9 可導函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上為增函數(shù)的充要條件是：對于任意x∈(a，b)，有f′(x)≥0，且f′(x)在區(qū)間(a，b)的任意子區(qū)間上都不恒為零
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