高一數學教案《方程根與函數零點》（精選11篇）
作為一名人民教師，總歸要編寫教案，教案是教學藍圖，可以有效提高教學效率。那么教案應該怎么寫才合適呢？以下是小編幫大家整理的高一數學教案《方程根與函數零點》，歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。
高一數學教案《方程根與函數零點》 篇1
一、本課數學內容的本質、地位、作用分析
普通高中課標教材必修1共安排了三章內容，第一章是《集合與函數的概念》，第二章是《基本初等函數(Ⅰ)》，第三章是《函數的應用》。第三章編排了兩塊內容，第一部分是函數與方程，第二部分是函數模型及其應用。本節課方程的根與函數的零點，正是在這種建立和運用函數模型的大背景下展開的。本節課的主要教學內容是函數零點的定義和函數零點存在的判定依據，這兩者顯然是為下節“用二分法求方程近似解”這一“函數的應用”服務的，同時也為后續學習的算法埋下伏筆。由此可見，它起著承上啟下的作用，與整章、整冊綜合成一個整體，學好本節意義重大。
函數在數學中占據著不可替代的核心地位，根本原因之一在于函數與其他知識具有廣泛的聯系，而函數的零點就是其中的一個鏈結點,它從不同的角度,將數與形,函數與方程有機地聯系在一起。方程本身就是函數的一部分，用函數的觀點來研究方程，就是將局部放入整體中研究，進而對整體和局部都有一個更深層次的理解，并學會用聯系的觀點解決問題，為后面函數與不等式和數列等其他知識的聯系奠定基礎。
二、教學目標分析
本節內容包含三大知識點：
一、函數零點的定義;
二、方程的根與函數零點的等價關系;
三、零點存在性定理。
結合本節課引入三大知識點的方法，設定本節課的知識與技能目標如下：
1.結合方程根的幾何意義，理解函數零點的定義;
2.結合零點定義的探究，掌握方程的實根與其相應函數零點之間的等價關系;
3.結合幾類基本初等函數的圖象特征，掌握判斷函數的零點個數和所在區間的方法.
本節課是學生在學習了函數的性質，具備了初步的數形結合知識的基礎上，通過對特殊函數圖象的分析進行展開的，是培養學生“化歸與轉化思想”，“數形結合思想”，“函數與方程思想”的優質載體。
結合本節課教學主線的設計，設定本節課的過程與方法目標如下：
1.通過化歸與轉化思想的引導，培養學生從已有認知結構出發，尋求解決棘手問題方法的習慣;
2.通過數形結合思想的滲透，培養學生主動應用數學思想的意識;
3.通過習題與探究知識的相關性設置，引導學生深入探究得出判斷函數的零點個數和所在區間的方法;
4.通過對函數與方程思想的不斷剖析，促進學生對知識靈活應用的能力。
由于本節課將以教師引導，學生探究為主體形式，故設定本節課的情感、態度與價值觀目標如下：
1.讓學生體驗化歸與轉化、數形結合、函數與方程這三大數學思想在解決數學問題時的意義與價值;
2.培養學生鍥而不舍的探索精神和嚴密思考的良好學習習慣。
3.使學生感受學習、探索發現的樂趣與成功感。
三、教學問題診斷
學生具備的認知基礎：
1.基本初等函數的圖象和性質;
2.一元二次方程的根和相應函數圖象與x軸的聯系;
3.將數與形相結合轉化的意識。
學生欠缺的實際能力：
1.主動應用數形結合思想解決問題的意識還不強;
2.將未知問題已知化，將復雜問題簡單化的化歸意識淡薄;
3.從直觀到抽象的概括總結能力還不夠;
4.概念的內涵與外延的探究意識有待提高。
對本節課的教學，教材是利用一組一元二次方程和二次函數的關系來引入函數零點的。這樣處理，主要是想讓學生在原有二次函數的認知基礎上，使其知識得到自然的發生發展。理解了像二次函數這樣簡單的函數零點，再來理解其他復雜的函數零點就會容易一些。但學生對如何解一元二次方程以及二次函數的圖象早就熟練了，這樣的引入過程使學生感到平淡，激發不起他們的興趣，他們對零點的理解也只會浮于表面，也無法使其體會引入函數零點的必要性，理解不了方程根存在的本質原因是零點的存在。
教材是通過由直觀到抽象的過程，才得到判斷函數y=f(x)在(a，b)內有零點的一種條件的，如果不能有效地對該過程進行引導，容易出現學生被動接受，盲目記憶的結果，而喪失了對學生應用數學思想方法的意識進行培養的機會。
教材中零點存在性定理只表述了存在零點的條件，但對存在零點的個數并未多做說明，這就要求教師對該定理的內涵和外延要有清晰的把握，引導學生探究出只存在一個零點的條件，否則學生對定理的內容很容易心存疑慮。
四、本節課的教法特點以及預期效果分析
本節課教法的幾大特點總結如下：
1.以問題為主線貫穿始終;
2.精心設置引導性的語言放手讓學生探究;
3.注重在引導學生探究問題解法的過程中滲透數學思想;
4.在探究過程中引入新知識點，在引入新知識點后適時歸納總結，進行探究階段性成果的應用。
由于所設置的主線問題具有很高的探究價值，所以預期學生熱情會很高，積極性調動起來，那整節課才能活起來;
由于為了更好地組織學生探究所設置的引導性語言，重在去挖掘學生內心真實的想法和他們最真實體會到的困難，所以通過學生活動會更多地暴露他們在基礎知識掌握方面的缺憾，免不了要隨時糾正對過往知識的錯誤理解;
因為在探究過程中不斷滲透數學思想，學生對親身經歷的解題方法就會有更深的體會，主動應用數學思想的意識在上升，對于主線問題也應該可以迎刃而解;
因為在探究過程中引入新知識點，學生對新知識產生的必要性會有更深刻的體會和認識，同時在新知識產生后，又適時地加以應用，學生對新知識的應用能力不斷提高。
高一數學教案《方程根與函數零點》 篇2
學習目標
1. 結合二次函數的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，從而了解函數的零點與方程根的聯系;
2. 掌握零點存在的判定定理.
學習過程
一、課前準備
(預習教材P86~ P88，找出疑惑之處)
復習1：一元二次方程 +bx+c=0 (a 0)的解法.
判別式 = .
當 0，方程有兩根，為 ;
當 0，方程有一根，為 ;
當 0，方程無實根.
復習2：方程 +bx+c=0 (a 0)的根與二次函數y=ax +bx+c (a 0)的圖象之間有什么關系?
判別式 一元二次方程 二次函數圖象
二、新課導學
※ 學習探究
探究任務一：函數零點與方程的根的關系
問題：
① 方程 的解為 ，函數 的圖象與x軸有 個交點，坐標為 .
② 方程 的解為 ，函數 的圖象與x軸有 個交點，坐標為 .
③ 方程 的解為 ，函數 的圖象與x軸有 個交點，坐標為 .
根據以上結論，可以得到：
一元二次方程 的根就是相應二次函數 的圖象與x軸交點的 .
你能將結論進一步推廣到 嗎?
新知：對于函數 ，我們把使 的實數x叫做函數 的零點(zero point).
反思：
函數 的零點、方程 的實數根、函數 的圖象與x軸交點的橫坐標，三者有什么關系?
試試：
(1)函數 的零點為 ; (2)函數 的零點為 .
小結：方程 有實數根 函數 的圖象與x軸有交點 函數 有零點.
探究任務二：零點存在性定理
問題：
① 作出 的圖象，求 的值，觀察 和 的符號
② 觀察下面函數 的圖象，
在區間 上 零點; 0;
在區間 上 零點; 0;
在區間 上 零點; 0.
新知：如果函數 在區間 上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有 0，那么，函數 在區間 內有零點，即存在 ，使得 ，這個c也就是方程 的根.
討論：零點個數一定是一個嗎? 逆定理成立嗎?試結合圖形來分析.
※ 典型例題
例1求函數 的零點的個數.
變式：求函數 的零點所在區間.
小結：函數零點的求法.
① 代數法：求方程 的實數根;
② 幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數 的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點.
※ 動手試試
練1. 求下列函數的零點：
(1) ;
(2) .
練2. 求函數 的零點所在的大致區間.
三、總結提升
※ 學習小結
①零點概念;②零點、與x軸交點、方程的根的關系;③零點存在性定理
※ 知識拓展
圖象連續的函數的零點的性質：
(1)函數的圖象是連續的，當它通過零點時(非偶次零點)，函數值變號.
推論：函數在區間 上的圖象是連續的，且 ，那么函數 在區間 上至少有一個零點.
(2)相鄰兩個零點之間的函數值保持同號.
學習評價
※ 自我評價 你完成本節導學案的情況為( ).
A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差
※ 當堂檢測(時量：5分鐘 滿分：10分)計分：
1. 函數 的零點個數為( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.若函數 在 上連續，且有 .則函數 在 上( ).
A. 一定沒有零點 B. 至少有一個零點
C. 只有一個零點 D. 零點情況不確定
3. 函數 的零點所在區間為( ).
A. B. C. D.
4. 函數 的零點為 .
5. 若函數 為定義域是R的奇函數，且 在 上有一個零點.則 的零點個數為 .
課后作業
1. 求函數 的零點所在的大致區間，并畫出它的大致圖象.
2. 已知函數 .
(1) 為何值時，函數的圖象與 軸有兩個零點;
(2)若函數至少有一個零點在原點右側，求 值.
高一數學教案《方程根與函數零點》 篇3
教學目標：
1、 能夠結合二次函數的圖像判斷一元二次方程根的存在性及根的個數。
2、 理解函數的零點與方程的聯系。
3、 滲透由特殊到一般的認識規律，提升學生的抽象和概括能力。
教學重點、難點：
1、 重點：理解函數的零點與方程根的聯系，使學生遇到一元二次方程根的問題時能順利聯想函數的思想和方法。
2、 難點：函數零點存在的條件。
教學過程：
1、 問題引入
探究一元二次方程與相應二次函數的關系。
出示表格，引導學生填寫表格，并分析填出的表格，從二次方程的根和二次函數的圖像與x軸的交點的坐標，探究一元二次方程與相應二次函數的關系。
一元二次方程
f(1)=12 -2*1-3=1-2-3=-4
f(2)* f(1)=-4*5=-20﹤0
問題2：在區間[2,4]呢？
解：f(2)=(2)2-2*2-3=-3
f(4)=42-2*4-3=5
f(4)*f(2)=(-3)* 5=-15﹤0
歸納：
f(2)* f(1)﹤0，函數=x2-2x-3在[-2，1]內有零點x=-1；f(2)* f(4)﹤0，函數=x2-2x-3在[2，4]內有零點x=3，它們分別是方程=x2-2x-3的兩個根。
結論：
如果函數 在區間 上的圖像是連續不斷的一條曲線并且有 ，那么，函數 在區間 內有零點，即存在 ，使得 ，這個 也就是方程 的根。
① 圖像在 上的圖像是連續不斷的
②
③ 函數 在區間 內至少有一個零點
4、 習題演練
利用函數圖像判斷下列二次函數有幾個零點
① =－x2＋3x＋5 ， ②=2x(x－2)+3
解：①令f(x)=－x2＋3x＋5,
做出函數f(x)的圖像，如下
②=2x(x－2)+3可化為
做出函數f(x)的圖像,如下：
（圖4-2）
它與x軸沒有交點，所以方程2x(x－2)＝－3無實數根，則函數=2x(x－2)+3沒有零點。
高一數學教案《方程根與函數零點》 篇4
教學要求：
結合二次函數的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，從而了解函數的零點與方程根的聯系；掌握零點存在的判定條件.
教學重點：
體會函數的零點與方程根之間的聯系，掌握零點存在的判定條件.
教學難點：
恰當的使用信息工具，探討函數零點個數.
教學過程：
一、復習準備：
思考：一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根與二次函數y=ax +bx+c的圖象之間有什么關系？
二、講授新課：
1、探討函數零點與方程的根的關系：
① 探討：方程x -2x-3=o 的根是什么？函數y= x -2x-3的圖象與x軸的交點?
方程x -2x+1=0的根是什么？函數y= x -2x+1的圖象與x軸的'交點？
方程x -2x+3=0的根是什么？函數y= x -2x+3的圖象與x軸有幾個交點？
② 根據以上探討，讓學生自己歸納并發現得出結論： → 推廣到y=f(x)呢？
一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根就是相應二次函數y=ax +bx+c的圖象與x軸交點橫坐標.
③ 定義零點：對于函數y=f(x),我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點.
④ 討論：y=f(x)的零點、方程f(x)=0的實數根、函數y=f(x) 的圖象與x軸交點的橫坐標的關系？
結論：方程f(x)=0有實數根 函數y=f(x) 的圖象與x軸有交點 函數y=f(x)有零點
⑤ 練習：求下列函數的零點 ； → 小結：二次函數零點情況
2、教學零點存在性定理及應用：
① 探究：作出 的圖象，讓同學們求出f(2),f(1)和f(0)的值, 觀察f(2)和f(0)的符號
②觀察下面函數 的圖象，在區間 上______(有/無)零點； _____0（＜或＞）. 在區間 上______(有/無)零點； _____0（＜或＞）． 在區間 上______(有/無)零點； _____0（＜或＞)．
③定理：如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a).f(b)<0,那么，函數y=f(x)在區間（a,b）內有零點，即存在c (a,b),使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根.
④ 應用：求函數f(x)=lnx+2x-6的零點的個數. （試討論一些函數值→分別用代數法、幾何法）
⑤小結：函數零點的求法
代數法：求方程 的實數根；
幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數 的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點．
⑥ 練習：求函數 的零點所在區間.
3、小結：零點概念；零點、與x軸交點、方程的根的關系；零點存在性定理
三、鞏固練習：1. p97, 1,題 2,題 （教師計算機演示，學生回答）
2. 求函數 的零點所在區間，并畫出它的大致圖象.
3. 求下列函數的零點： ； ； ；
4.已知 ：（1） 為何值時，函數的圖象與 軸有兩個零點；
（2）如果函數至少有一個零點在原點右側，求 的值．
5. 作業：p102, 2題；p125 1題
高一數學教案《方程根與函數零點》 篇5
一、教學內容解析
本節課的主要內容有函數零點的的概念、函數零點存在性判定定理。
函數f(x)的零點,是中學數學的一個重要概念,從函數值與自變量對應的角度看,就是使函數值為0的實數x;從方程的角度看,即為相應方程f(x)=0的實數根，從函數的圖形表示看,函數的零點就是函數f(x)與x軸交點的橫坐標.函數是中學數學的核心概念，核心的根本原因之一在于函數與其他知識具有廣泛的聯系性，而函數的零點就是其中的一個鏈結點,它從不同的角度,將數與形,函數與方程有機的聯系在一起。
函數零點的存在性判定定理，其目的就是通過找函數的零點來研究方程的根，進一步突出函數思想的應用，也為二分法求方程的近似解作好知識上和思想上的準備。定理不需證明，關鍵在于讓學生通過感知體驗并加以確認，由些需要結合具體的實例，加強對定理進行全面的認識，比如定理應用的局限性，即定理的前提是函數的圖象必須是連續的，定理只能判定函數的“變號”零點;定理結論中零點存在但不一定唯一，需要結合函數的圖象和性質作進一步的判斷。
對函數與方程的關系有一個逐步認識的過程，教材遵循了由淺入深、循序漸進的原則.從學生認為較簡單的一元二次方程與相應的二次函數入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應的二次函數的零點的聯系，然后將其推廣到一般方程與相應的函數的情形。
函數與方程相比較,一個“動”，一個“靜”;一個“整體”，一個“局部”。用函數的觀點研究方程，本質上就是將局部的問題放在整體中研究，將靜態的結果放在動態的過程中研究，這為今后進一步學習函數與不等式等其它知識的聯系奠定了堅實的基礎。
本節是函數應用的第一課，因此教學時應當站在函數應用的高度，從函數與其他知識的聯系的角度來引入較為適宜。
二、教學目標解析
1.結合具體的問題，并從特殊推廣到一般，使學生領會函數與方程之間的內在聯系，從而了解函數的零點與方程根的聯系。
2.結合函數圖象，通過觀察分析特殊函數的零點存在的特點，通過問題，理解連續函數在某個區間上存在零點的判定方法，并能由此方法判定函數在某個區間上存在零點。了解定理應用的前提條件，應用的局限性，及定理的準確結論。
3.通過具體實例，學生能結合函數的圖象和性質進一步判斷函數零點的個數。
4.在學習過程中，體驗函數與方程思想及數形結合思想。
三、教學問題診斷分析
1.通過前面的學習，學生已經了解一些基本初等函數的模型，掌握了函數圖象的一般畫法，及一定的看圖識圖能力,這為本節課利用函數圖象，判斷方程根的存在性提供了一定的知識基礎。對于函數零點的概念本質的理解，學生缺乏的是函數的觀點，或是函數應用的意識，造成對函數與方程之間的聯系缺乏了解。由此作為函數應用的第一課時，有必要點明函數的核心地位，即說明函數與其他知識的聯系及其在生活中的應用，初步樹立起函數應用的意識。并從此出發，通過問題的設置，引導學生思考，再通過實例的確認與體驗，從直觀到抽象，從特殊到一般的學習方式，捅破學生認識上的這層“窗戶紙”。
2.對于零點存在的判定定理，教材不要求給予其證明，這需要教師提供一定量的具體案例讓學生操作感知，同時鼓勵學生舉例來驗證，最終能自主地獲得并確認該定理的結論。對于定理的條件和結論，學生往往考慮不夠深入，需要教師通過具體的問題，引導學生從正面、反面、側面等不同的角度重新進行審視。
3.函數的零點，體現了函數與方程之間的密切聯系，教學中應遵循高中數學以函數為主線的這一原則進行聯結，側重在從函數的角度看方程，同時為二分法求方程的近似解作知識和思想上的準備。
四、教學過程設計
(一)創設情景，揭示課題
函數是中學數學的核心內容，它不僅在生活中有著大量的應用，與其他數學知識有著千絲萬縷的聯系，若能抓住這一聯系，你就擁有了一把解決問題的金鑰匙。
案例1：周長為定值的矩形
不妨取l=12
問題1：求其面積的值：
顯然面積是一個關于x的一個二次多項式
，用幾何畫板演示矩形的變化：
問題2：求矩形面積的最大值?
當x取不同值時，代數式的值也相應隨之變化，你能從函數的角度審視其中的關系嗎?
問題3：能否使得矩形的面積為8?你是如何分析的?
(1)實驗演示的角度進行估計，拖動時難以恰好出現面積為8的情況;
(2)解方程：x(6-x)=8
(3)方程x(6-x)=8能否從函數的角度來進行描述?
問題4：
一般地，對于一般的二次三項式，二次方程與二次函數，它們之間有何聯系?
結論：
代數式的值就是相應的函數值;
方程的根就是使相應函數值為0的x的值。
更一般地
方程f(x)=0的根，就是使函數值y=f(x)的函數值為0的x值，從函數的角度我們稱之為零點。
設計意圖:本節課是函數應用的第一課，有必要讓學生對函數的應用有所了解。從具體的問題出發,揭示函數與代數式、方程之間的內在聯系，并從學生所熟悉的具體的二次函數，推廣到一般的二次函數，再進一步推廣到一般的函數。
(二) 互動交流 研討新知
1.函數零點的概念：
對于函數
，把使
成立的實數
叫做函數
的零點.
2.對零點概念的理解
案例2：觀察圖象
問題1：此圖象是否能表示函數?
問題2：你能從中分析函數有哪些零點嗎?
問題3：從函數圖象的角度，你能對函數的零點換一種說法嗎?
結論：函數
的零點就是方程
實數根，亦即函數
的圖象與
軸交點的橫坐標.即：
方程
有實數根
函數
的圖象與
軸有交點
函數
有零點.
設計意圖：進一步掌握函數的核心概念，同時通過圖象進行一步完善對函數零點的全面理解，為下面借助圖象探究零點存在性定理作好一定的鋪墊。
2.零點存在定理的探究
案例3：下表是三次函數
的部分對應值表：
問題1：你能從表中找出函數的零點嗎?
問題2：結合圖象與表格，你能發現此函數零點的附近函數值有何特點?
生：兩邊的函數值異號!
問題3：如果一個函數f(x)滿足f(a)f(b)<0,在區間(a,b)上是否一定存在著函數的零點?
注意:函數在區間上必須是連續的(圖象能一筆畫),從而引出零點存在性定理.
問題4: 有位同學畫了一個圖,認為定理不一定成立,你的看法呢?
問題5:你能改變定理的條件或結論,得到一些新的命題嗎?
如1:加強定理的結論:若在區間[a，b]上連續函數f(x)滿足f(a)f(b)<0,是否意味著函數f(x)在[a,b]上恰有一個零點?
如2.將定理反過來:若連續函數f(x)在[a,b]上有一個零點,是否一定有f(a)f(b)<0?
如3:一般化:一個函數的零點是否都可由上述的定理進行判斷?(反例:同號零點,如案例2中的零點-2)
設計意圖：通過表格，是為了進一步鞏固對函數這一概念的全面認識，并為觀察零點存在性定理中函數值的異號埋下伏筆。通過教師的設問讓學生進一步全面深入地領悟定理的內容，而鼓勵學生提問，是培養學生學習主動性和創造能力必要的過程。
(三)鞏固深化，發展思維
例1、求函數f(x)=㏑x+2x -6的零點個數。
設計問題：
(1)你可以想到什么方法來判斷函數零點?
(2)你是如何來確定零點所在的區間的?請各自選擇。
(3)零點是唯一的嗎?為什么?
設計意圖：對所學內容鞏固，可以借助<幾何畫板>畫出函數f(x)的圖象觀察,也可借助列出函數值表觀察。
本題可以使學生意識對零點的區間是不唯一的，為下一節二分法求方程的近似解奠定基礎。
讓學生進一步領悟，零點的唯一性需要借助函數的單調性。
(四)歸納整理，整體認識
請回顧本節課所學知識內容有哪些?
所涉及到的主要數學思想又有哪些?
你還獲得了什么?
(五)作業(略)
高一數學教案《方程根與函數零點》 篇6
教學目標：
1、 能夠結合二次函數的圖像判斷一元二次方程根的存在性及根的個數。
2、 理解函數的零點與方程的聯系。
3、 滲透由特殊到一般的認識規律，提升學生的抽象和概括能力。
教學重點、難點：
1、 重點：理解函數的零點與方程根的聯系，使學生遇到一元二次方程根的問題時能順利聯想函數的思想和方法。
2、 難點：函數零點存在的條件。
教學過程：
1、 問題引入
探究一元二次方程與相應二次函數的關系。
出示表格，引導學生填寫表格，并分析填出的表格，從二次方程的根和二次函數的圖像與x軸的交點的坐標，探究一元二次方程與相應二次函數的關系。
一元二次方程
方程的根
二次函數
圖像與x軸的交點
x2-2x-3=0
x1=-1，x2=3
y=x2-2x-3
（-1，0），（3，0）
x2-2x+1=0
x1= x2=1
y=x2-2x+1
（1，0）
x2-2x+3=0
無實數根
y=x2-2x+3
無交點
（圖1-1）函數y=x2-2x-3的圖像
（圖1-2）函數y=x2-2x+1的圖像
（圖1-3）函數y=x2-2x+3的圖像
歸納：
（1） 如果一元二次方程沒有實數根，相應的二次函數圖像與x軸沒有交點；
（2） 如果一元二次方程有實數根，相應的二次函數圖像與x軸有交點。
反之，二次函數圖像與x軸沒有交點，相應的一元二次方程沒有實數根；
二次函數圖像與x軸有交點，則交點的橫坐標就是相應一元二次方程的實數根。
2、 函數的零點
（1） 概念
對于函數y=f(x)(x∈d),把使f(x)=0成立的實數x叫做函數y=f(x)(x∈d)的零點。
（2） 意義
方程f(x)=0有實數根
函數y=f(x)的圖像與x軸有交點
函數y=f(x)有零點
（3） 求函數的零點
① 代數法：求方程f(x)=0的實數根
② 幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數y=f(x)的圖像聯系起來，并利用函數的性質找出零點。
3、 函數零點的存在性
（1） 二次函數的零點
△=b2-4ac
ax2+bx+c=0的實數根
y=ax2+bx+c的零點數
△﹥0
有兩個不等的實數根x1、x2
兩個零點x1、 x2
△=0
有兩個相等的實數根x1= x2
一個零點x1（或x2）
高一數學教案《方程根與函數零點》 篇7
一、教學目標
（1）知識與技能：
結合二次函數的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及個數，從而了解函數的零點與方程的根的聯系.理解并會用零點存在性定理。
（2）過程與方法：
培養學生觀察、思考、分析、猜想，驗證的能力，并從中體驗從特殊到一般及函數與方程思想。
（3）情感態度與價值觀：
在引導學生通過自主探究，發現問題，解決問題的過程中，激發學生學習熱情和求知欲，體現學生的主體地位，提高學習數學的興趣。
二、教學重難點
重點：體會函數零點與方程根之間的聯系，掌握零點的概念
難點：函數零點與方程根之間的聯系
三、教法學法
以問題為載體，學生活動為主線，以多媒體輔助教學為手段利用探究式教學法，構建學生自主探究、合作交流的平臺
四、教學過程
1．創設問題情境，引入新課
問題1求下列方程的根
師生互動:問題1讓學生通過自主解前3小題，復習一元二次方程根三種情形。
問題2填寫下表，探究一元二次方程的根與相應二次函數與x軸的交點的關系？
師生互動:讓學生自主完成表格，觀察并總結數學規律
問題3完成表格，并觀察一元二次方程的根與相應二函數圖象與x軸交點的關系？
師生互動:讓學生通過探究，歸納概括所發現結論，并能用相對準確的數學語言表達。
2．建構函數零點概念
函數零點的概念：對于函數y=f(x),我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點。
思考：
（1）零點是一個點嗎？
（2）零點跟方程的根的關系？
(3)請你說出問題2中3個函數的零點及個數？（投影問題2的表格）
師生互動:教師逐一給出3個問題，讓學生思考回答，教師對回答正確學生給予表揚，不正確學生給予提示與鼓勵。
3．知識的延伸，得出等價關系
(1)方程f(x)=0有實數根(2)函數y=f(x)有零點
(3)函數y=f(x)的圖象與x軸有交點
高一數學教案《方程根與函數零點》 篇8
一、背景分析
1、學習任務分析
函數與方程是中學數學的重要內容，既是初等數學的基礎，又是初等數學與高等數學的連接紐帶。在新課程教學中有著不可替代的重要位置.為什么要引進函數的零點?原因是要用函數的觀點統帥中學數學,把解方程問題納入到函數問題中.引入函數的零點,解方程的問題就變成了求函數的零點問題.
就本章而言，本節通過對二次函數的圖象的研究判斷一元二次方程根的存在性以及根的個數的判斷建立一元二次方程的根與相應的二次函數的零點的聯系，然后由特殊到一般，將其推廣到一般方程與相應的函數的情形．它既揭示了初中一元二次方程與相應的二次函數的內在聯系，也引出對函數知識的總結拓展。之后將函數零點與方程的根的關系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以應用，通過建立函數模型以及模型的求解（3.2）更全面地體現函數與方程的關系，逐步建立起函數與方程的聯系．即體現了函數與方程的思想,又滲透了數形結合的思想.總之，本節課滲透著重要的數學思想 “特殊到一般的歸納思想” “方程與函數”和“數形結合”的思想，教好本節課可以為學好中學數學打下一個良好基礎，因此教好本節是至關重要的。
2、學生情況分析
學生在學習本節內容之前已經學習了函數的圖象和性質,理解了函數圖象與性質之間的關系,尤其熟悉二次函數,并且已經具有一定的數形結合思想,這為理解函數的零點提供了直觀認識,并為判定零點是否存在和求出零點提供了支持;學生有一定的方程知識的基礎,熟悉從特殊到一般的歸納方法,這為深入理解函數的零點及方程的根與函數零點的聯系提供了依據.但學生對于函數與方程之間的聯系缺乏一定的認識，對于綜合應用函數圖象與性質尚不夠熟練，這些都給學生在聯系函數與方程，發現函數零點的存在性事造成了一定的難度。又加上函數零點存在性的判定方法表述較為抽象難以概括。因此教學中盡可能提供學生動手實踐的機會，讓學生親身體驗中掌握知識與方法，充分利用學生熟悉的二次函數圖象和一元二次方程通過直觀感受發現并歸納出函數零點的概念；在函數零點存在性的判定方法的教學時
應該為學生創設適當的問題情境，激發學生的思維引導學生通過觀察、計算、作圖、思考理解問題的本質。
二、教學目標設計
1、結合《課程標準》對本節的要求，制定本節課的教學目標為：
（1）、以二次函數的圖象與對應的一元二次方程的關系為突破口，探究方程的根與函數的零點的關系.
（2）、掌握在某區間上圖象連續的函數存在零點的判定方法；學會在某區間上圖象連續的函數存在零點的判定方法。
（3）、讓學生在探究過程中體驗發現的樂趣，體會數形結合的數學思想，從特殊到一般的歸納思想，培養學生的辨證思維以及分析問題解決問題的能力。
2、教學重點難點設計
重點：函數零點與方程根之間的關系；連續函數在某區間上存在零點的判定方法。難點：發現與理解方程的根與函數零點的關系；探究發現函數存在零點的方法。
三、教學媒體設計
根據本節課的教學任務以及學生學習的需要，教學媒體設計如下：
1、多媒體輔助教學
在對某區間上圖象連續的函數存在零點的判定方法的探究過程中，利用小馬過河的形象實例把抽象的判定定理還原到具體的可觀察可操作的層面上來，弱化純粹的邏輯推理，把“數”轉化到了“形”.
多媒體使用也為學生提供了更廣闊的思維空間，提高了探究活動的質量。同時，為有效的指導學生活動，在教學中也使用了實物投影儀，展示學生所做的練習，并在此過程中隊學生進行針對性的評價。
2、設計合理的板書
為對本課有一個整體的認識，教學時將重要內容進行板書，如：
四、教學過程設計
（一）設問激疑--創設情境問題1：求下列方程的根．（1）（2）（3）
設計意圖:從學生較為熟悉的方程（一元一次、一元二次方程）出發，再提出稍微難一點的方程符合學生的認知規律，進而使學生認識到有些復雜的方程用以前的解題方法求解很不方便,需要尋求新的解決方法，讓學生帶著問題學習，激發學生的求知欲。
（二）啟發引導，初步探究問題2：作出下列二次函數的圖象
(1)y=x2+2x-3 (2)y=x2+2x+1 (3)y=x2+2x+3以上各函數圖象與相應方程的根有何關系？
設計意圖:與問題1聯系起來結合一次、二次函數圖象，判斷方程根的存在性及根的個數，為理解函數的零點，了解函數的零點與方程根的聯系作準備，充分發揮學生的主觀能動性。問題3:二次函數y=ax2+bx+c (a≠0)的圖象與x軸交點和相應一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有何關系?
設計意圖：把具體的結論推廣到一般情況,向學生滲透“從最簡單、最熟悉的問題入手解決較復雜問題”的思維方法,培養學生的歸納能力．
由此的出結論:二次函數圖象與x軸交點的橫坐標就是相應方程的實數根。
（三）形成概念
歸納：方程f(x)=0的實數根就是函數y=f(x)圖象與x軸交點的橫坐標。定義：對于函數y=f(x),我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點。由此引出課題：等價關系
設計意圖：讓學生從熟悉的環境中發現新知識，并與原有的知識形成聯系，利用方程與函數的聯系，培養學生觀察、歸納的能力，并滲透數形結合的數學思想。
高一數學教案《方程根與函數零點》 篇9
【教材的地位與作用】
本節課是選自人教版《高中課程標準實驗教科書》A版必修1第三章第一節。函數是中學數學的核心概念，核心的根本原因之一在于函數與其他知識具有廣泛的聯系性，而函數的零點就是其中的一個鏈結點，它從不同的角度，將數與形，函數與方程有機的聯系在一起。
本節是函數應用的第一課，學生在系統地掌握了函數的概念及性質，基本初等函數知識后，學習方程的根與函數零點之間的關系，并結合函數的圖象和性質來判斷方程的根的存在性及根的個數，從而掌握函數在某個去件上存在零點的判定方法。為下節“二分法求方程的近似解”和后續學習的算法提供了基礎．因此本節內容具有承前啟后的作用，地位重要。
對函數與方程的關系有一個逐步認識的過程，教材遵循了由淺入深、循序漸進的原則．從學生認為較簡單的一元二次方程與相應的二次函數入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應的二次函數的零點的聯系，然后將其推廣到一般方程與相應的函數的情形。
【教材目標】
根據本課教學內容的特點以及新課標對本節課的教學要求，考慮學生已有的認知結構與心理特征，我制定以下教學目標：
（一）認知目標：
1．理解并掌握方程的根與相應函數零點的關系，學會將求方程的根的問題轉化為求相應函數零點的問題；
2．理解零點存在條件，并能確定具體函數存在零點的區間．
（二）能力目標：
培養學生自主發現、探究實踐的能力．
（三）情感目標：
在函數與方程的聯系中體驗數學轉化思想的意義和價值
【教材重難點】
本著新課程標準的教學理念，針對教學內容的特點，我確立了如下的教學重點、難點：
教學重點：體會函數的零點與方程的根之間的聯系，掌握零點存在的判定條件及應用．
教學難點：探究發現函數零點的存在性。
【教法分析】
充分發揮教師的主導作用和學生的主體作用。指導學生比較對照區別方程的根與函數圖象與X軸的交點的方法，指導學生按順序有重點地觀察函數零點附近的函數值之間的關系的方法，并比較采用“啟發—探究—討論”式教學模式。這樣的教法有利于突出重點——函數的零點與方程的根之間的聯系與零點存在的判定條件及應用
【學法分析】
1．通過前面的學習，學生已經了解一些基本初等函數的模型，掌握了函數圖象的一般畫法，及一定的看圖識圖能力，這為本節課利用函數圖象，判斷方程根的存在性提供了一定的知識基礎。對于函數零點的概念本質的理解，學生缺乏的是函數的觀點，或是函數應用的意識，造成對函數與方程之間的聯系缺乏了解。
【教學過程】
（一）創設情景，提出問題
由簡單到復雜，使學生認識到有些復雜的方程用以前的解題方法求解很不方便，需要尋求新的解決方法，讓學生帶著問題學習，激發學生的求知欲．以學生熟悉二次函數圖象和二次方程為平臺，觀察方程和函數形式上的聯系，從而得到方程實數根與函數圖象之間的關系。培養學生的歸納能力。理解零點是連接函數與方程的結點。
（二）啟發引導，形成概念
利用辨析練習，來加深學生對概念的理解．目的要學生明確零點是一個實數，不是一個點。
引導學生得出三個重要的等價關系，體現了“化歸”和“數形結合”的數學思想，這也是解題的關鍵。
（三）初步運用，示例練習
鞏固函數零點的求法，滲透二次函數以外的函數零點情況．進一步體會方程與函數的關系。
（四）討論探究，揭示定理
通過小組討論完成探究，教師恰當輔導，引導學生大膽猜想出函數零點存在性的判定方法。這樣設計既符合學生的認知特點，也讓學生經歷從特殊到一般過程。函數零點的存在性判定定理，其目的就是通過找函數的零點來研究方程的根，進一步突出函數思想的應用，也為二分法求方程的近似解作好知識上和思想上的準備。
（四）討論辨析，形成概念
引導學生理解函數零點存在定理，分析其中各條件的作用，并通過特殊圖象來幫助學生理解，將抽象的問題轉化為直觀形象的圖形，更利于學生理解定理的本質．定理不需證明，關鍵在于讓學生通過感知體驗并加以確認，有些需要結合具體的實例，加強對定理進行全面的認識，比如定理應用的局限性，即定理的前提是函數的圖象必須是連續的，定理只能判定函數的“變號”零點；定理結論中零點存在但不一定唯一，需要結合函數的圖象和性質作進一步的判斷。定理的逆命題不成立。
（五）觀察感知，例題學習
引導學生思考如何應用定理來解決相關的具體問題，接著讓學生利用計算器完成對應值表，然后利用函數單調性判斷零點的個數，并借助函數圖象對整個解題思路有一個直觀的認識。
（六）知識應用，嘗試練習
對新知識的理解需要一個不斷深化完善的過程，通過練習，進行數學思想方法的小結，可使學生更深刻地理解數學思想方法在解題中的地位和應用，同時反映教學效果，便于教師進行查漏補缺。
（七）課后作業，自主學習
鞏固學生所學的新知識，將學生的思維向外延伸，激發學生的發散思維。
高一數學教案《方程根與函數零點》 篇10
一、教材分析
本節是普通高中課程標準實驗教科書數學必修1的第三章第一節，是在學生學習函數的基本性質和指、對、冪三種基本初等函數基礎上的后續，展現函數圖象和性質的應用。
本節重點是通過“二分法”求方程的近似解，使學生體會函數的零點與方程根之間的聯系，初步形成用函數觀點處理問題的意識。
本課是本章節的第一節課，結合函數圖象和性質向學生介紹零點概念及其存在性，為后面“二分法”的學習打下伏筆，也為后來的算法學習作好基礎。
二、學情分析
通過初中的學習，學生已經熟練掌握了一次方程、二次方程求根的方法、描點作圖法和一次函數、二次函數、反比例函數的圖象；通過高中前兩章的學習，強化了描點作圖法，初步掌握了對勾函數、指數函數、對數函數、冪函數的圖象及基本性質，具備一定的看圖識圖能力，這為本節課利用函數圖象，判斷方程根的存在性提供了一定的知識基礎。但是，學生對函數與方程之間的聯系缺乏了解，因此我們有必要點明函數的核心地位。
三、教學目標的確定
1、知識與技能：
（1）能夠結合具體方程（如二次方程），說明方程的根、相應函數圖象與x軸的交點橫坐標以及相應函數零點的關系；
（2）正確理解函數零點存在性定理：了解圖象連續不斷的意義及作用；知道定理只是函數存在零點的一個充分條件；
（3）能利用函數圖象和性質判斷某些函數的零點個數；
（4）能順利將一個方程求解問題轉化為一個函數零點問題，寫出與方程對應的函數；并會判斷存在零點的區間（可使用計算器）。
2、過程與方法：
通過學生活動、討論與探究，體驗函數零點概念的形成過程，引導學生學會用轉化與數形結合思想方法研究問題，提高數學知識的綜合應用能力。
3、情感態度價值觀：
讓學生初步體會事物間相互轉化以及由特殊到一般的辨證思想，充分體驗數學語言的嚴謹性，數學思想方法的科學性，讓學生進一步受到數學思想方法的熏陶，激發學生的學習熱情。
之所以這樣確定教學目標，一方面是根據教材和課程標準的要求，另方面是想在學法上給學生以指導，使學生的能力得到提高。
四、教學重難點的確定
重點：函數零點的概念、求法和函數零點存在性定理。
難點：函數零點存在性定理的掌握與運用。
依據：在高考中考察函數零點相關問題，函數零點存在性定理為“二分法”的學習奠定基礎，也是能否準確掌握本節知識的關鍵。
四、教學方法的選擇
由于學生有一定的基礎，是在原有知識上求新，根據學生的實際情況及培養目標，我采用“以問題為中心”的探究式的教學模式，由特殊到一般，激發學生學習興趣，體現學生的主體地位。所選教學方法主要是引導啟發，學生的學習方法是通過活動、討論、探究，發現并準確歸納出結論。
五、學習方法的選擇
在本節教學中我著重突出了教法對學法的引導，采用自主探究的學習法。在教學雙邊活動的過程中，以學生活動為主，自主探究，合作交流，運用“從特殊到一般，轉化，數形結合”的數學思想方法，發現并準確歸納出結論引導學生探尋新知識，層層深入掌握新知識。
六、教學過程
1、復習式導入
練習：
（1）求方程x2—2x—3=0的根，畫出函數y=x2—2x—3的圖象；
（2）求方程x2—2x+1=0的根，畫出函數y=x2—2x+1的圖象；
（3）求方程x2—2x+3=0的根，畫出函數y=x2—2x+3的圖象。觀察方程的根與函數和x軸交點的橫坐標之間的關系。
意圖：問題比較簡單，面向了全體學生，符合學生認知規律，真正讓學生思維“動”起來。讓學生感知“函數的零點”概念發生的過程和求函數零點的兩種方法：方程求根法與圖像法。
2、推廣到一般
從△>0，△=0，△<0三個角度對一元二次方程ax2+bx+c=0的根和相應的二次函數y=ax2+bx+c與x軸的交點情況進行比對，得到一般性的結論。
意圖：讓學生感知“特殊到一般”的辯證思想；求零點過程中，了解轉化（求零點轉化為求方程f（x）=0的根）的數學思想，感受函數與方程的聯系。
3、定義與關系
定義：對于函數y=f（x），我們把使f（x）=0的實數x叫做函數y=f（x）的零點。
關系：方程f（x）=0有實數根
函數y=f（x）有零點。
歸納總結：我們求函數的零點有哪些方法？
意圖：拉近師生距離，體現課堂中學生的主體地位與師生間的平等關系。融洽的師生關系能真正讓學生思維活躍起來，同時繼續領會轉化思想。
4、探究零點存在性
觀察二次函數f（x）=x2—2x—3和對數函數f（x）=lgx的圖象中零點兩側函數值的正負情況，探究函數零點存在性。如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有
f（a）·f（b）<0，那么，函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根。函數y=f（x）的圖象與x軸有交點
意圖：通過學生自主探究和師生互動，讓學生體會數形結合思想，享受探究成功的愉悅。
5、詮釋零點存在性
只要滿足上述兩個條件，就能判斷函數在指定區間內存在零點，若要得到零點的個數，還需結合函數的單調性等性質進行判斷。我們還要注意，這只是函數零點存在性的充分條件，它的逆命題就不成立了。
意圖：使學生準確理解零點存在性定理。
6、例題講解與練習
例1求函數f（x）=lnx+2x—6的零點個數。意圖：通過例題分析，學會用零點存在性定理確定零點存在區間，并且結合函數性質，判斷零點個數的方法。
練習（P88）
作業：習題3、1A組3，復習參考題A組1
高一數學教案《方程根與函數零點》 篇11
【學習目標】
１．知識技能：
（1）理解函數的零點的概念；明確“方程的根”與“函數的零點”的關系；掌握閉區間上連續函數的零點存在定理．
（2）理解求方程近似解的二分法的基本思想； 能夠借助科學計算器用二分法求給定方程的滿足一定精確度要求的近似解
2．過程與方法
（1）通過研究一元二次方程的根與一元二次函數的圖像與橫軸交點的橫坐標之間的關系，從中抽象出零點的概念；通過畫函數圖像，歸納出閉區間上連續函數的零點存在定理；通過例題掌握利用函數的性質找出函數的零點，從而求出方程的根的方法．
（2）體驗求方程近似解的二分法的探究形成過程； 感受數學內部方程與函數之間的聯系及其認識該聯系的重要性和應用價值； 初步認識算法化的形式表達．
3．情感、態度與價值觀
從中體會樹形結合研究函數的直觀性和優越性，滲透由特殊到一般的認識規律，提升學生的抽象和概括能力. 通過讓學生概括二分法的思想和歸納二分法的步驟培養學生的歸納概括能力．
【學習重點】
方程的根與函數的零點之間的關系，二分法的基本思想
【學習難點】
利用函數的性質找出零點找到方程的根．二分法求方程的近似解
【學習方法】
學生自主學習、合作探究．
【學習過程】
復習：
1.函數的零點的判定.
2. 二分法求方程的近似解
一、函數的零點
例1．偶函數 在區間[0,a]（a>0）上是單調函數，且f（0）=f（a）<0，則方程 在區間[－a,a]內根的個數是（ ）
A．1B．2C．3D．0
練習：1：已知函數 ，若實數 是方程 的解，且 ，則 的值為（ ）
A．恒為正值B．等于 C．恒為負值D．不大于
2．已知函數 ，則函數 的零點是__________
二、二分法求方程的近似解
例2．用“二分法”求方程 在區間 內的實根，取區間中點為 ，那么下一個有根的區間是 。
練習2：
3．利用函數圖象判斷下列方程有沒有實數根，有幾個實數根：
4 借助計算器，用二分法求出 在區間 內的近似解（精確到 ）
5．設 ,用二分法求方程內近似解的過程中得則方程的根落在區間（ ）
A． B．
C． D．不能確定
6 直線 與函數 的圖象的交點個數為（ ）
A． 個 B． 個 C． 個 D． 個
7 若方程 有兩個實數解，則 的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
課堂小結:
課后作業:復習參考題四 A組1?4題
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