六年級小學奧數題：容斥原理問題
容斥原理問題：(高等難度)
在多元智能大賽的決賽中只有三道題.已知:(1)某校25名學生參加競賽,每個學生至少解出一道題;(2)在所有沒有解出第一題的學生中,解出第二題的人數是解出第三題的人數的'2倍:(3)只解出第一題的學生比余下的學生中解出第一題的人數多1人;(4)只解出一道題的學生中,有一半沒有解出第一題,那么只解出第二題的學生人數是()
容斥原理問題答案：
根據“每個人至少答出三題中的一道題”可知答題情況分為7類：只答第1題，只答第2題，只答第3題，只答第1、2題，只答第1、3題，只答2、3題，答1、2、3題。
分別設各類的人數為a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由(1)知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…①
由(2)知：a2+a23=(a3+a23)×2……②
由(3)知：a12+a13+a123=a1-1……③
由(4)知：a1=a2+a3……④
再由②得a23=a2-a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥
然后將④⑤⑥代入①中，整理得到
a2×4+a3=26
由于a2、a3均表示人數，可以求出它們的整數解：
當a2=6、5、4、3、2、1時，a3=2、6、10、14、18、22
又根據a23=a2-a3×2……⑤可知：a2>a3
因此，符合條件的只有a2=6，a3=2。
然后可以推出a1=8，a12+a13+a123=7，a23=2，總人數=8+6+2+7+2=25，檢驗所有條件均符。
故只解出第二題的學生人數a2=6人。
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