高中數(shù)學(xué)求導(dǎo)方法總結(jié)
導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)里的一個(gè)非常重要知識(shí)，下面為大家?guī)砹烁叨䲠?shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)方法小結(jié)，一起來看看吧!
通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以去求函數(shù)的切線或者法線方程，通過導(dǎo)數(shù)開可以求出函數(shù)的極限，也可以通過導(dǎo)數(shù)去判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及通過導(dǎo)數(shù)延伸出來的微積分可以去求函數(shù)的面積、體積及長(zhǎng)度的內(nèi)容，所以掌握導(dǎo)數(shù)和求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是高等數(shù)學(xué)的重要且是基本的知識(shí)了。
方法/步驟1：
1、基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
所謂基本函數(shù)，也就是通常所說的初等函數(shù)，例如常數(shù)函數(shù)y=c，一次函數(shù)y=kx+b，二次函數(shù)y=ax^2+bx+c,冪函數(shù)y=x^a,指數(shù)函數(shù)y=a^x,對(duì)數(shù)函數(shù)y=loga x，自然對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx，三角函數(shù)，反三角函數(shù)等，這些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是需要記住的。具體公式如下：
y=c y'=0 y=x^n y'=nx^(n-1) y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x
y=sinx y'=cosx y=cosx y'=-sinx y=tanx y'=1/cos^2x
y=cotx y'=-1/sin^2x y=arcsinx y'=1/√1-x^2 y=arccosx y'=-1/√1-x^2
y=arctanx y'=1/1+x^2 y=arccotx y'=-1/1+x^2
方法/步驟2：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：
1、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，就是指導(dǎo)數(shù)的加、減、乘、除的四則運(yùn)算法則，這也是需要掌握的`重要內(nèi)容，公式如下：
①(u±v)=u'v±vu' ②uv=u'v+uv' ③u/v=(u'v-uv')/v^2
這里邊的u.v一般是代表的兩個(gè)不同的函數(shù)，不會(huì)同時(shí)為常數(shù)。這三個(gè)運(yùn)算法則中，特別要記住的是兩個(gè)函數(shù)商的導(dǎo)數(shù)求法，分子中出現(xiàn)的是減號(hào)，這個(gè)地方容易出錯(cuò)。對(duì)于上面提到的二次函數(shù)，符合函數(shù)和差的運(yùn)算法則，所以y'=(ax^2)'+(bx)'+c'=2ax+b+0=2ax+b.
方法/步驟3：初等函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)
1、初等函數(shù)的四則運(yùn)算，就是上述提到基本函數(shù)，其求導(dǎo)，通常要用到上述求導(dǎo)的運(yùn)算法則，它可以單獨(dú)使用其中的一個(gè)運(yùn)算法則，也可以是多個(gè)運(yùn)算法則同時(shí)使用，下面舉幾個(gè)例子。
2、(1)y=sinx+5x-cosx,這個(gè)是函數(shù)的和差運(yùn)算，求導(dǎo)法則僅使用①，所以：
y'=(sinx)'+(5x)'-(cosx)'=cosx+5-(-sinx)=cosx+sinx+5.
3、(2)y=(5sinx)*(3cosx),這個(gè)是函數(shù)的乘積運(yùn)算，求導(dǎo)法則僅使用②，所以：
y'=(5sinx)'(3cosx)+(5sinx)(3cosx)'
=(5cosx)(3cosx)+(5sinx)(-3sinx)
=15(cos^2x-sin^2x)
=15cos2x.
4、(3)y=sinx/cosx,這個(gè)是函數(shù)的商的運(yùn)算，求導(dǎo)法則僅使用③，所以：
y'=[(sinx)'cosx-(sinx)(cosx)']/(cosx)^2
=[cosxcosx-(sinx)(-sinx)]/(cosx)^2
=1/(cosx)^2
=sec^2x,實(shí)際上y=sinx/cosx=tanx，其導(dǎo)數(shù)是通過這個(gè)法則求出來的。
5、(4)y=(sinx-5x+x^2cosx)/x,這個(gè)函數(shù)的求導(dǎo)，上述三個(gè)運(yùn)算法則都要使用到，所以：
y'=[(sinx-5x+x^2cosx)'x-(sinx-5x+x^2cosx)x']/x^2
={[(sinx)'-(5x)'+(x^2cosx)']x-(sinx-5x+x^2cosx)}/x^2
={[cosx-5+(x^2)'cosx+(x^2)(cosx)']x-sinx+5x-x^2cosx}/x^2
={[cosx-5+2xcosx-x^2sinx]x-sinx+5x-x^2cosx}/x^2
=(xcosx-5x+2x^2cosx-x^3sinx-sinx+5x-x^2cosx)/x^2
=(xcosx+x^2cosx-x^3sinx-sinx)/x^2.
方法/步驟4： 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
1復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u)，u=g(x)即y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為
y' =f'(g(x))*g'(x)即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.舉例如下：
2
(1)y=(2x+1)^5,
y'=5(2x+1)^4*(2x+1)'=5(2x+1)^4*2=10(2x+1)^4.
3
(2) y=sin(x^2+2x).
y'=cos(x^2+2x)*(x^2+2x)'=cos(x^2+2x)*(2x+2)=2(x+1)cos(x^2+2x).
4
(3)y=(3x)^x,因?yàn)樗炔皇侵笖?shù)函數(shù)，也不是冪函數(shù)，所以求導(dǎo)之前要變型，得到：
lny=xln3x,兩邊求導(dǎo)得到：
y'/y=ln3x+x(ln3x)'
y'/y=ln3x+x*3/3x=ln3x+1
所以y'=(3x)^x(1+ln3x).
方法/步驟5：積分函數(shù)的求導(dǎo)
1對(duì)有積分上下限函數(shù)的求導(dǎo)有以下公式:
[∫(a,c)f(x)dx]'=0，a，c為常數(shù)。解釋：對(duì)于積分上下限為常數(shù)的積分函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)=0.
[∫(g(x),c)f(x)dx]'=f(g(x))*g'(x),a為常數(shù)，g(x)為積分上限函數(shù)，解釋：積分上限為函數(shù)的求導(dǎo)公式=被積函數(shù)以積分上限為自變量的函數(shù)值乘以積分上限的導(dǎo)數(shù)。
[∫(g(x),p(x))f(x)dx]'=f(g(x))*g'(x)-f(p(x))*p'(x),a為常數(shù)，g(x)為積分上限函數(shù)，p(x)為積分下限函數(shù)。解釋：積分上下限為函數(shù)的求導(dǎo)公式=被積函數(shù)以積分上限為自變量的函數(shù)值乘以積分上限的導(dǎo)數(shù)-被積函數(shù)以積分下限為自變量的函數(shù)值乘以積分下限的導(dǎo)數(shù)。
2
(1)[∫(x^2,1)(2x+5)dx]'
=(2x^2+5)*(x^2)'
=(2x^2+5)*2x
=4x^3+10x
3
(2)[∫(2x^2-1.x)sinxdx]'
=sin(2x^2-1)*(2x^2-1)'-sinx*(x)'
=4xsin(2x^2-1)-sinx.
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