關于冪級數求和的探討
導語：冪級數是高等數學課程中非常重要的知識點，而其中有關冪級數求和問題是這部分內容的重點和難點.以下是小編給大家整理的大學數學，歡迎大家參考！
例1 求冪級數∑∞[]n=0xn[]n+1的和函數.
解 先求收斂域.由limn→∞an+1[]an=limn→∞n+1[]n+2=1得收斂半徑R=1.
在端點x=-1處，冪級數成為∑∞[]n=0（-1）n[]n+1，是收斂的交錯級數；
在端點x=1處，冪級數成為∑∞[]n=01[]n+1，是發散的.因此收斂域為I=[-1，1].
設和函數為s（x），即
s（x）=∑∞[]n=0xn[]n+1，x∈[-1，1）.（1）
于是
xs（x）=∑∞[]n=0xn+1[]n+1.（2）
利用性質3，逐項求導，并由
1[]1-x=1+x+x2+…+xn+…，（-1 得
[xs（x）]′=∑∞[]n=0xn+1[]n+1=∑∞[]n=0xn=1[]1-x，（|x|<1）.（4）
對上式從0到x積分，得
xs（x）=∫x01[]1-xdx=-ln（1-x），（-1≤x≤1）.（5）
于是，當x≠0時，有s（x）=-1[]xln（1-x），
而s（0）可由s（0）=a0=1得出，
故
s（x）=-1[]xln（1-x），x∈[-1，0）∪（0，1），
1，x=0.（6）
一、錯誤及原因分析
1.忽略冪級數的起始項
例如在求解冪級數∑∞[]n=1xn的和函數時，有學生就很容易將其和函數寫為s（x）=1[]1-x，而事實上其和應該為s（x）=x[]1-x.該錯誤產生的原因在于學生忽略了冪級數的起始項，習慣性的把第一項默認為1.
2.忽略和函數的定義域
產生該錯誤的原因，主要是學生對和函數的概念理解不透徹.無窮多項求和其和并不總是存在的，即不總是收斂的，所以在求和函數時，首先要判斷在哪些點處和是存在的，這些點的集合就是和函數的定義域，即冪級數的收斂域.
3.錯誤地給出和函數的定義域，即冪級數的收斂域
該錯誤的產生主要源于利用和函數的分析性質求解和函數時，忽略了收斂域的變化.上述例子中的（5）式就出現了這方面的錯誤.
4.忽略了收斂域中的特殊點
在上述例子式中，利用（5）求s（x）時，需要在等式兩邊同時除以x.此時，當x≠0時，才有s（x）=-1[]xln（1-x），因此，對x=0還要單獨求解s（0）.
二、求冪級數和函數時應注意的問題及應對措施
1.標注和函數的定義域
和函數的定義域不同于一般函數的定義域，其定義域事實上為與和函數相對應的冪級數的收斂域，因此在和函數表達式之后應正確標注x的取值范圍，即和函數的定義域.為避免在這里出現錯誤，在求解和函數時，應首先求出所求冪級數的收斂域.嚴格按照先求收斂域再求和函數的步驟求解能很好地解決這一問題（參看教材[1]中例6）.
2.注意收斂域與級數的匹配
利用和函數的分析性質求解和函數是解決冪級數求和的重要方法，尤其是教材[1]中的性質2和性質3，簡稱為逐項求積和逐項求導.但這兩條性質都只說明變化后的級數其收斂半徑不發生變化，未對收斂域的情況進行詳細說明.事實上，逐項積分后所得冪級數的收斂域有可能擴大，即有可能把收斂區間的端點包含進來；逐項求導后所得冪級數的收斂域有可能縮小，即有可能把收斂域的端點去掉.應對這一問題，只需要在利用逐項求導和逐項求積時，對端點處的收斂性重新判斷即可.
3.注意等式變化過程中x的取值問題
比如在（5）式中，求解s（x）時，需要在等式兩邊同時除以x.此時x不能取零，但x=0又是收斂域中的點，因此需單獨求解s（0）.對這一問題，需要在等式變化過程中，關注x的取值變化.對收斂域中不能取到的點x0，應單獨求解s（x0）.可用以下兩種方法，方法一：求解x=x0時對應的常數項級數的和.方法二：利用和函數的連續性求解x=x0時對應的常數項級數的和.
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