高二函數的極值與導數識點

2016高二函數的極值與導數識點

　　導語：讀一本好書，就是和許多高尚的人談話。下面是小編為大家整理的，數學期末考復習，希望對大家有所幫,歡迎閱讀，僅供參考，更多相關的知識，請關注CNFLAz學習網!

　　(一)函數的極值與導數的關系 1、觀察下圖中的曲線

　　a點的函數值f(a)比它臨近點的函數值都大.b點的函數值f(b)比它臨近點的函數值都小.

　　2、觀察函數 f(x)=2x3-6x2+7的圖象，

　　思考：函數y=f(x)在點x=0，x=2處的函數值，與它們附近所有各點

　　處的函數值，比較有什么特點?

　　(1)函數在x=0的函數值比它附近所有各點的函數值都大，

　　我們說 f(0) 是函數的一個極大值;

　　(2)函數在x=2的函數值比它附近所有各點的函數值都小，

　　則f(2)是函數的一個極小值.

　　函數y=2x3-6x2+7 的一個極大值: f (0); 一個極小值: f (2).

　　函數y=2x3-6x2+7 的 一個極大值點: ( 0， f (0) ); 一個極小值點: ( 2， f (2) ). 3、極值的.概念：

　　一般地，設函數f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)< f(x0) 我們就說f(x0)是函數f(x)的一個極大值，記作 y極大值=f(x0);

　　如果對x0附近的所有的點，都有f(x)>f(x0)

　　我們就說f(x0)是函數f(x)的一個極小值，記作y極小值=f(x0). 極大值與極小值統稱為極值. 4、觀察下圖中的曲線

　　考察上圖中，曲線在極值點處附近切線的斜率情況. )>0

　　上圖中，曲線在極值點處切線的斜率為0，

　　極大值點左側導數為正，右側為負;極小值點左側導數為負，右側為正. 函數的極值點xi是區間[a, b]內部的點，區間的端點不能成為極值點.

　　函數的極大(小)值可能不止一個，并且函數的極大值不一定大于極小值，極小值不一定小于極大值.

　　函數在[a, b]上有極值，其極值點的分布是有規律的，像相鄰兩個極大值間必有一個極小值點.

　　5、利用導數判別函數的極大(小)值：

　　一般地，當函數f(x)在點x0處連續時，判別f(x0)是極大(小)值的方法是：

　　⑴如果在x0附近的左側f '(x)>0，右側f '(x)<0，那么，f(x0)是極大值; ⑵如果在x0附近的左側f '(x)<0，右側f '(x)>0，那么，f(x0)是極小值; 思考：導數為0的點是否一定是極值點?

　　導數為0的點不一定是極值點.

　　如函數f(x)=x3，x=0點處的導數是0，但它不是極值點.

　　函數f(x)的定義域為開區間(a，b)，導函數f'(x)在(a，b)內的函數

　　圖像如圖，則函數f(x)在開區間(a，b)內存在極小值點個.

　　例1求函數y

　　13

　　x4x4的極值. 3

　　解：y=x2-4=(x+2)(x-2).令 y=0，解得 x1=-2，x2=2. 當

　　4

　　.

　　33

　　求可導函數f (x)的極值的步驟：

　　⑴ 求導函數f (x);

　　⑵ 求方程 f (x)=0的根;

　　⑶ 檢查f

　　(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f (x)在這個根處取得極大值; 如果左負右正，那么f (x)在這個根處取得極小值. 例2.求函數yxe

　　2x

　　的極值

　　例3 求函數y=(x2-1)3+1的極值.

　　解：定義域為R，y=6x(x2-1)2.由y=0可得x1=-1，x2=0，x3=1

　　極小值x32

　　例4.y

　　的極值 2

　　2(x1)

　　例5.y(x1)x2的極值

　　思考：導數值為0的點一定為極值點嗎?極值點一定導數值為0嗎? 練習：求函數yxe

　　3x

　　的極值

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