高中數學判斷不等式組的平面區域最簡單的方法
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簡單線性規劃問題是高考必考知識點，而其基礎在于研究二元一次不等式(組)所對應的平面區域.下面介紹一些方法來快速準確地確定二元一次不等式(組)所表示的平面區域。
知識點總結
常見考法
本節在段考中，主要是以選擇題和填空題的形式考查二元一次不等式組合簡單的線性規劃問題的基礎知識，以解答題的形式考查簡單的線性規劃問題的應用。在高考中各種題型都有出現，主要是考查簡單的線性規劃問題。
誤區提醒
1、畫不等式對應的平面區域時，有時容易邊界問題。有等號，要把邊界畫成實線，沒有等號，要把邊界畫成虛線。
2、注意不要列錯了線性約束條件。
方法一：直線定界，特殊點定域
找出一個二元一次不等式(組)在平面直角坐標系內所表示的平面區域的基本方法是：
①畫直線
②取特殊點
③代值定域
④求公共部分
①畫直線──作出各不等式對應方程表示的直線(原不等式帶等號的作實線，否則作虛線);
②取特殊點──平面直角坐標系內的直線要么過原點，要么不過原點;當直線過原點時我們選取特殊點
或
(坐標軸上的點)，當直線不過原點時我們選取原點
做特殊點;
③代值定域──將選取的特殊點代入所給不等式：如果不等式成立，則不等式所表示的平面區域就是該特殊點所在的區域;如果不等式不成立，則不等式所表示的平面區域就是該特殊點所在區域的另一邊.
④求公共部分──不等式組所確定的平面區域，是各個二元一次不等式所表示平面區域的公共部分.
例1 畫出不等式組
所表示的平面區域. 解析：①畫直線：不等式
對應的直線方程是
;不等式
對應的直線方程是
;在平面直角坐標系中作出直線
與
(如圖).
②取特殊點：直線
過原點，可取特殊點
;直線
不過原點，可取特殊點
. ③將
代入，即
，不等式
不成立，直線另一側區域就是不等式
所表示的平面區域;將
代入，即
，不等式
成立，則原點所在區域就是不等式
所表示的平面區域.(圖一)
④求公共部分：如圖二所示公共部分就是不等式組所表示的平面區域.
方法二：法向量判定法
由平面解析幾何知識知道直線
(
不同時為0)的一個法向量為
.以坐標原點作為法向量的始點，可以利用向量內積證明如下結論： (1)不等式
(
)，不等式表示的平面區域就是法向量指向的區域;(大于同向) (2)不等式
(
)，不等式表示的平面區域就是法向量反向的區域;(小于反向) 例2 畫出不等式組
所表示的平面區域. 解析：①不等式
對應的直線方程是
，法向量
;不等式
對應的直線方程是
，法向量
;在平面直角坐標系中作出直線
與
及其相應的法向量(如圖).
②由于不等式
(
)，平面區域是法向量
指向的區域(圖一);不等式
(
)，平面區域是法向量
反向的區域(圖二).
③然后求的公共部分就是不等式組所表示的平面區域.
方法三：未知數系數化正法
直線
(
不同時為0)含有兩個未知數，于是我們可以將未知數的系數分為兩類：
項系數與
項系數來研究. (1)
項系數化正法：顧名思義就是利用不等式性質，不等號兩邊同時
(移項)將
項系數化為正值，然后根據變形后關于
的不等式中的不等號來確定區域位置(規定：
軸正方向所指的區域為直線的上方;反之為下方)有結論：
項系數正值化：
上;
下. 例3 畫出不等式組
所表示的平面區域. 解析：①不等式
對應的直線方程是
;不等式
對應的直線方程是
;在平面直角坐標系中作出直線
與
(如圖).
②將不等式組中每個不等式
項系數正值化，得
或
(移項). ③關于
的不等式(
)即
(或者
)，直線上方的區域就是該不等式所表示的平面區域(圖一);關于
的不等式(
)即
，直線下方的區域就是該不等式所表示的平面區域(圖二).
④然后求的公共部分就是不等式組所表示的平面區域.
(2)
項系數化正法：同(1)一樣，不等號兩邊同時
(或移項)將
項系數化為正值，然后根據變形后關于
的不等式中的不等號來確定區域位置(規定：
軸正方向所指的區域為直線的右方;反之為左方)有結論：
項系數正值化：
右;
左. 可結合例3來對
項系數化正法進行理解.
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