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    四年級常考的奧數題:質數合數問題

    時間:2021-01-22 09:29:42 奧數題

    四年級常考的奧數題:質數合數問題

      導語:學習和研究好比爬梯子,要一步一步地往上爬,企圖一腳跨上四五步,平地登天,那就必須會摔跤了。下面是小編為大家整理的:奧數題。希望對大家有所幫助,歡迎閱讀,僅供參考,更多相關的知識,請關注CNFLA學習網!

      小學奧數題【例一】

      質數、質因數和互質數這三個術語的概念極易混淆,因為它們都有“質”和“數”兩個字。正確地區分這幾個概念,對掌握數的整除性這部分基礎知識,有著極其重要的意義。

      (1)質數:一個自然數,如果只有1和它本身兩個約數,這個數叫做質數(也稱素數)。

      例如:

      1的約數有:1;

      2的約數有:1,2;

      3的約數有:1,3;

      4的約數有:1,2,4;

      6的約數有:1,2,3,6;

      7的約數有:1,7;

      12的約數有:1,2,3,4,6,12;

      ……

      從上面各數的約數個數中可以看到:一個自然數的約數個數有三種情況:

      ①只有一個約數的,如1。因此,1不是質數,也不是合數。

      ②只有兩個約數的(1和它本身),如2,3,7……

      ③有兩個以上約數的,如4,6,12……

      屬于第②種情況的,叫做質數。屬于第③種情況的,即:除了1和本身以外,還有別的約數,這樣的數叫做合數。

      (2)質因數:一般地說,一個數的因數是質數,就叫做這個數的質因數。

      例如:18=2×3×3

      這里的2、3、3都是18的因數,而2和3本身又都是質數,于是我們就把2、3、3叫做18的質因數。這里需要注意的是:18也可以寫成3與6的乘積,即:18=3×6,無疑3和6都是18的因數,但3本身是質數,可以稱做18的質因數,而6是合數,則不能稱做18的質因數。

      (3)互質數:兩個或幾個自然數,當它們的最大公約數是1的時候,這兩個或幾個數,就叫做互質數(也叫互素數)。

      例如:5和7,4和11,8和9,7、11和15,12、20和35……。

      上述這幾組數,它們的最大公約數都是1,因此,它們都是互質數。在以上兩個互質數中,如7、11和15這三個數,7和11是互質數,11和15是互質數,7和15也是互質數。這類情況,我們就叫做這三個數“兩兩互質”。但12、20和35這組數中,雖然它們也是互質數,但不是兩兩互質,因為12和35是互質數,至于12和20、20和35都不是互質數。

      需要注意的是:不管兩個數互質或者兩個的數以上互質,這些數本身卻不一定是質數,如5和7是互質數,它們本身都是質數;4和11是互質數,其中4并不是質數;8和9是互質數,但8和9本身都不是質數。

      總之,質數是指一個數。譬如說:“2是質數,11是質數”等等。質因數雖然也是指一個數,但是它是針對另一個數而說的。譬如說:“5是35的質因數。”如果離開35,孤立地說:“5是質因數。”則是不妥當的。因此,質因數具有雙重身份:第一必須是個質數;第二必須是另一個數的因數。

      互質數同質數、質因數都不同,它不是指一個數,而是指除了1以外,再沒有其他公約數的`兩個或兩個以上的數。

      由此可見:掌握質數、質因數和互質數這幾個術語的概念,其中質數是基礎,這三者之間既有聯系,又有區別,要透徹理解和正確區分,才能防止混淆。

      小學奧數題【例二】

      一、同余的定義:

      ①若兩個整數a、b除以m的余數相同,則稱a、b對于模m同余。

      ②已知三個整數a、b、m,如果m|a-b,就稱a、b對于模m同余,記作a≡b(mod m),讀作a同余于b模m。

      二、同余的性質:

      ①自身性:a≡a(mod m);

      ②對稱性:若a≡b(mod m),則b≡a(mod m);

      ③傳遞性:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),則a≡ c(mod m);

      ④和差性:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),則a+c≡b+d(mod m),a-c≡b-d(mod m);

      ⑤相乘性:若a≡ b(mod m),c≡d(mod m),則a×c≡ b×d(mod m);

      ⑥乘方性:若a≡b(mod m),則an≡bn(mod m);

      ⑦同倍性:若a≡ b(mod m),整數c,則a×c≡ b×c(mod m×c);

      三、關于乘方的預備知識:

      ①若A=a×b,則MA=Ma×b=(Ma)b

      ②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md

      四、被3、9、11除后的余數特征:

      ①一個自然數M,n表示M的各個數位上數字的和,則M≡n(mod 9)或(mod 3);

      ②一個自然數M,X表示M的各個奇數位上數字的和,Y表示M的各個偶數數位上數字的和,則M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);

      五、費爾馬小定理:

      如果p是質數(素數),a是自然數,且a不能被p整除,則ap-1≡1(mod p)。

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