2017考研數(shù)學(xué)：線代重要考點(diǎn)大全
【導(dǎo)語】考研，即參加碩士研究生入學(xué)考試。其英文表述是“Take part in the entrance exams for postgraduate schools”。考研首先要符合國家標(biāo)準(zhǔn)，其次按照程序：與學(xué)校聯(lián)系、先期準(zhǔn)備、報(bào)名、初試、調(diào)劑、復(fù)試、復(fù)試調(diào)劑、錄取等方面依次進(jìn)行。
1.行列式的重點(diǎn)是計(jì)算，利用性質(zhì)熟練準(zhǔn)確的計(jì)算出行列式的值。
2.矩陣中除可逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣等重要概念外，主要也是運(yùn)算，其運(yùn)算分兩個(gè)層次：
(1)矩陣的符號(hào)運(yùn)算
(2)具體矩陣的數(shù)值運(yùn)算
3.關(guān)于向量，證明(或判別)向量組的線性相關(guān)(無關(guān))，線性表出等問題的關(guān)鍵在于深刻理解線性相關(guān)(無關(guān))的概念及幾個(gè)相關(guān)定理的掌握，并要注意推證過程中邏輯的正確性及反證法的使用。
4.向量組的極大無關(guān)組，等價(jià)向量組，向量組及矩陣的秩的概念，以及它們相互關(guān)系也是重點(diǎn)內(nèi)容之一。
用初等行變換是求向量組的極大無關(guān)組及向量組和矩陣秩的有效方法。
5.于特征值、特征向量，要求基本上有三點(diǎn)：
(1)要會(huì)求特征值、特征向量，對(duì)具體給定的數(shù)值矩陣，一般用特征方程∣λE-A∣=0及(λE-A)ξ=0即可，抽象的由給定矩陣的特征值求其相關(guān)矩陣的特征值(的取值范圍)，可用定義Aξ=λξ，同時(shí)還應(yīng)注意特征值和特征向量的性質(zhì)及其應(yīng)用。
(2)有關(guān)相似矩陣和相似對(duì)角化的問題，一般矩陣相似對(duì)角化的條件。實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化及正交變換相似于對(duì)角陣，反過來，可由A的特征值，特征向量來確不定期A的參數(shù)或確定A，如果A是實(shí)對(duì)稱陣，利用不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交，有時(shí)還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2(λ2≠λ1)對(duì)應(yīng)的特征向量，從而確定出A.
(3)相似對(duì)角化以后的應(yīng)用，在線性代數(shù)中至少可用來計(jì)算行列式及An.
6.將二次型表示成矩陣形式，用矩陣的方法研究二次型的問題主要有兩個(gè)：
(1)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，這主要是正交變換法(這和實(shí)對(duì)稱陣正交相似對(duì)角陣是一個(gè)問題的兩種提法)，在沒有其他要求的情況下，用配方法得到標(biāo)準(zhǔn)形可能更方便些。
(2)二次型的正定性問題，對(duì)具體的數(shù)值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來判別，而抽象的由給定矩陣的正定性，證明相關(guān)矩陣的正定性時(shí)，可利用標(biāo)準(zhǔn)形，規(guī)范形，特征值等到證明，這時(shí)應(yīng)熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件。
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