線性規(guī)劃數(shù)學(xué)教案
教學(xué)目標(biāo)
鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，能用此來(lái)求目標(biāo)函數(shù)的最值．
重點(diǎn)難點(diǎn)
理解二元一次不等式表示平面區(qū)域是教學(xué)重點(diǎn)．
如何擾實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題，并給出解答是教學(xué)難點(diǎn)．
教學(xué)步驟
我們知道，二元一次不等式和二元一次不等式組都表示平面區(qū)域，在這里開(kāi)始，教學(xué)又翻開(kāi)了新的一頁(yè)，在今后的學(xué)習(xí)中，我們可以逐步看到它的運(yùn)用．
先討論下面的問(wèn)題
設(shè) ，式中變量x、y滿(mǎn)足下列條件
①
求z的最大值和最小值．
我們先畫(huà)出不等式組①表示的平面區(qū)域，如圖中 內(nèi)部且包括邊界．點(diǎn)（0，0）不在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)，當(dāng) 時(shí)， ，點(diǎn)（0，0）在直線 上．
作一組和 平等的直線
可知，當(dāng)l在 的右上方時(shí)，直線l上的點(diǎn) 滿(mǎn)足 ．
即 ，而且l往右平移時(shí)，t隨之增大，在經(jīng)過(guò)不等式組①表示的三角形區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于l的直線中，以經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（5，2）的直線l，所對(duì)應(yīng)的t最大，以經(jīng)過(guò)點(diǎn) 的直線 ，所對(duì)應(yīng)的t最小，所以
在上述問(wèn)題中，不等式組①是一組對(duì)變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，所以又稱(chēng)線性約束條件．
是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫做目標(biāo)函數(shù)，由于 又是x、y的解析式，所以又叫線性目標(biāo)函數(shù)，上述問(wèn)題就是求線性目標(biāo)函數(shù) 在線性約束條件①下的最大值和最小值問(wèn)題．
線性約束條件除了用一次不等式表示外，有時(shí)也有一次方程表示．
一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，統(tǒng)稱(chēng)為線性規(guī)劃問(wèn)題，滿(mǎn)足線性約束條件的解 叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域，在上述問(wèn)題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域，其中可行解（5，2）和（1，1）分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解．
例1 解下列線性規(guī)劃問(wèn)題：求 的最大值和最小值，使式中的x、y滿(mǎn)足約束條件
解：先作出可行域，見(jiàn)圖中 表示的區(qū)域，且求得 ．
作出直線 ，再將直線 平移，當(dāng) 的平行線 過(guò)B點(diǎn)時(shí)，可使 達(dá)到最小值，當(dāng) 的平行線 過(guò)C點(diǎn)時(shí)，可使 達(dá)到最大值．
通過(guò)這個(gè)例子講清楚線性規(guī)劃的步驟，即：
第一步：在平面直角坐標(biāo)系中作出可行域；
第二步：在可行域內(nèi)找出最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；
第三步：解方程的最優(yōu)解，從而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值．
例2 解線性規(guī)劃問(wèn)題：求 的最大值，使式中的x、y滿(mǎn)足約束條件．
解：作出可行域，見(jiàn)圖，五邊形OABCD表示的平面區(qū)域．
作出直線 將它平移至點(diǎn)B，顯然，點(diǎn)B的坐標(biāo)是可行域中的最優(yōu)解，它使 達(dá)到最大值，解方程組 得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，2）．
∴這個(gè)例題可在教師的指導(dǎo)下，由學(xué)生解出．在此例中，若目標(biāo)函數(shù)設(shè)為 ，約束條件不變，則z的最大值在點(diǎn)C（3，6）處取得．事實(shí)上，可行域內(nèi)最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在何處，與目標(biāo)函數(shù) 所確定的直線 的斜率 有關(guān)．就這個(gè)例子而言，當(dāng) 的斜率為負(fù)數(shù)時(shí)，即 時(shí)，若 （直線 的斜率）時(shí)，線段BC上所有點(diǎn)都是使z取得最大值（如本例）；當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)C處使z取得最大值（比如： 時(shí)），若 ，可請(qǐng)同學(xué)思考．
隨堂練習(xí)
1．求 的最小值，使式中的 滿(mǎn)足約束條件
2．求 的最大值，使式中 滿(mǎn)足約束條件
答案：1． 時(shí)， ．
2． 時(shí)， ．
總結(jié)提煉
1．線性規(guī)劃的概念．
2．線性規(guī)劃的問(wèn)題解法．
布置作業(yè)
1．求 的最大值，使式中的 滿(mǎn)足條件
2．求 的最小值，使 滿(mǎn)足下列條件
答案：1．
2．在可行域內(nèi)整點(diǎn)中，點(diǎn)（5，2）使z最小，
探究活動(dòng)
［問(wèn)題］某企業(yè)2015年的利潤(rùn)為5萬(wàn)元，2016年的利潤(rùn)為7萬(wàn)元，2017年的利潤(rùn)為81元，請(qǐng)你根據(jù)以上信息擬定兩個(gè)不同的利潤(rùn)增長(zhǎng)直線方程，從而預(yù)2018年企業(yè)的利潤(rùn)，請(qǐng)問(wèn)你幫該企業(yè)預(yù)測(cè)的.利潤(rùn)是多少萬(wàn)？
［分析］首先應(yīng)考慮在平面直角坐標(biāo)系中如何描述題中信息：“2015年的利潤(rùn)為5萬(wàn)元，2016年的利潤(rùn)為7萬(wàn)元，2017年的利潤(rùn)為8萬(wàn)元”，在確定這三點(diǎn)坐標(biāo)后，如何運(yùn)用這三點(diǎn)坐標(biāo)，是僅用其中的兩點(diǎn)，還是三點(diǎn)信息的綜合運(yùn)用，運(yùn)用時(shí)要注意有其合理性、思考的方向可以考慮將通過(guò)特殊點(diǎn)的直線、平行某個(gè)線段的直線、與某些點(diǎn)距離最小的直線作為預(yù)測(cè)直線等等．
建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)2015年的利潤(rùn)為5萬(wàn)元對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 （0，5），1998年的利潤(rùn)為 7萬(wàn)元及2017年的利潤(rùn)為 8萬(wàn)元分別對(duì)應(yīng)點(diǎn) （1，7）和 （2，8），那么
①若將過(guò) 兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線 ，其方程為： ，這樣預(yù)測(cè)2018年的利潤(rùn)為13萬(wàn)元．
②若將過(guò) 兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線 ，其方程為： ，這樣預(yù)測(cè)2018年的利潤(rùn)為11萬(wàn)元．
③若將過(guò) 兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線 ，其方程為： ，這樣預(yù)測(cè)2018年的利潤(rùn)為10萬(wàn)元．
④若將過(guò) 及線段 的中點(diǎn) 的直線作為預(yù)測(cè)直線 ，其方程為： ，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11．667萬(wàn)元．
⑤若將過(guò) 及 的重心 （注： 為3年的年平均利潤(rùn)）的直線作為預(yù)測(cè)直線 ，其方程為： ，這樣預(yù)測(cè)2018年的利潤(rùn)為11．667萬(wàn)元．
⑥若將過(guò) 及 的重心 的直線作為預(yù)測(cè)直線 ，其方程為： ，這樣預(yù)測(cè)2018年的利潤(rùn)為10．667萬(wàn)元．
⑦若將過(guò) 且以線段 的斜率 為斜率的直線作為預(yù)測(cè)直線，則預(yù)測(cè)直線 的方程為： ，這樣預(yù)測(cè)2018年的利潤(rùn)為9萬(wàn)元．
⑧若將過(guò) 且以線段 的斜率 為斜率的直線作為預(yù)測(cè)直線，則預(yù)測(cè)直線 的方程為： ，這樣預(yù)測(cè)2018年的利潤(rùn)為11。5萬(wàn)元。
⑨若將過(guò)點(diǎn) 且以線段 的斜率 為斜率的直線，作為預(yù)測(cè)直線，則預(yù)測(cè)直線 的方程為； ，這樣預(yù)測(cè)2018年的利潤(rùn)為12萬(wàn)元．
⑩若將過(guò) 且以線段 的斜率 與線段 的斜率 的平均數(shù)為斜率的直線作為預(yù)測(cè)直線，則預(yù)測(cè)直線 的方程為： ，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為12萬(wàn)元．
如此這樣，還有其他方案，在此不—一列舉．
［思考］（1）第⑤種方案與第④種方案的結(jié)果完全一致，這是為什么？
（2）第⑦種方案中， 的現(xiàn)實(shí)意義是什么？
（3）根據(jù)以上的基本解題思路，請(qǐng)你思考新的方案．如方案⑥中，過(guò) 的重心 ，找出以 為斜率的直線中與 兩點(diǎn)的距離的平方和最小的直線作為預(yù)測(cè)直線．
（4）根據(jù)以上結(jié)論及你自己的答案估計(jì)一下利潤(rùn)的范圍，你預(yù)測(cè)的利潤(rùn)頻率出現(xiàn)最多的是哪一個(gè)值？你認(rèn)為將你預(yù)測(cè)的結(jié)論作怎樣的處理，使之得到的利潤(rùn)預(yù)測(cè)更為有效？如果不要求用線性預(yù)測(cè)，你能得出什么結(jié)果？
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