高中數(shù)學(xué)必考知識(shí)點(diǎn)匯總
線性回歸方程
1．學(xué)習(xí)目標(biāo)：
了解非確定性關(guān)系中兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)方法；掌握散點(diǎn)圖的畫法及在統(tǒng)計(jì)中的作用，掌握
回歸直線方程的求解方法。
2．學(xué)法指導(dǎo)：
�、偾蠡貧w直線方程，首先應(yīng)注意到，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)標(biāo)意義．否則，求出的回歸直線方程毫無(wú)意義．因此，對(duì)一組數(shù)據(jù)作線性回歸分析時(shí)，應(yīng)先看其散點(diǎn)圖是否成線性．
②求回歸直線方程，關(guān)鍵在于正確地求出系數(shù)a、b，由于求a、b的計(jì)算量較大，計(jì)算時(shí)仔細(xì)謹(jǐn)慎、分層進(jìn)行，避免因計(jì)算產(chǎn)生失誤．
�、刍貧w直線方程在現(xiàn)實(shí)生活與生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用．應(yīng)用回歸直線方程可以把非確定性問題轉(zhuǎn)化成確定性問題，把“無(wú)序”變?yōu)椤坝行颉保?duì)情況進(jìn)行估測(cè)、補(bǔ)充．因此，學(xué)過回歸直線方程以后，應(yīng)增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用回歸直線方程解決相關(guān)實(shí)際問題的意識(shí)．
【教師在線】
1．解析視屏：
1．相關(guān)關(guān)系的概念
在實(shí)際問題中，變量之間的常見關(guān)系有兩類：
一類是確定性函數(shù)關(guān)系，變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表示。例如正方形的面積S與其邊長(zhǎng) 之間的函數(shù)關(guān)系 （確定關(guān)系）；
一類是相關(guān)關(guān)系，變量之間有一定的聯(lián)系，但不能完全用函數(shù)來(lái)表達(dá)。例如一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量的關(guān)系（非確定關(guān)系）
相關(guān)關(guān)系：自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系。
相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)：
相同點(diǎn)：均是指兩個(gè)變量的關(guān)系。
不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系；函數(shù)關(guān)系是自變量與因變量之間的關(guān)系，這種關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系。
2．求回歸直線方程的思想方法
觀察散點(diǎn)圖的特征，發(fā)現(xiàn)各點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，思考：類似圖中的直線可畫幾條？
引導(dǎo)學(xué)生分析，最能代表變量x與y之間關(guān)系的直線的特征：即n個(gè)偏差的平方和最小，其過程簡(jiǎn)要分析如下：
設(shè)所求的直線方程為 ，其中a、b是待定系數(shù)。
則 ，于是得到各個(gè)偏差。
顯見，偏差 的符號(hào)有正負(fù)，若將它們相加會(huì)造成相互抵消，所以它們的和不能代表幾個(gè)點(diǎn)與相應(yīng)直線在整體上的接近程度，故采用n個(gè)偏差的平方和
表示n個(gè)點(diǎn)與相應(yīng)直線在整體上的接近程度。
記 。
上述式子展開后，是一個(gè)關(guān)于a，b的二次多項(xiàng)式，應(yīng)用配方法，可求出使Q為最小值時(shí)的a，b的值，即
其中
以上方法稱為最小二乘法。
2．經(jīng)典回放：
例1：下列各組變量哪個(gè)是函數(shù)關(guān)系，哪個(gè)是相關(guān)關(guān)系？
�。�1）電壓U與電流I
�。�2）圓面積S與半徑R
�。�3）自由落體運(yùn)動(dòng)中位移s與時(shí)間t
（4）糧食產(chǎn)量與施肥量
（5）人的身高與體重
�。�6）廣告費(fèi)支出與商品銷售額
分析：函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系；函數(shù)關(guān)系是自變量與因變量之間的關(guān)系，這種關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系。
解：前三小題中一個(gè)變量的變化可以確定另一個(gè)變量的變化，兩者之間是函數(shù)關(guān)系。
對(duì)于糧食與施肥量，兩者確實(shí)有非常密切的關(guān)系，實(shí)踐證明，在一定的范圍內(nèi)，施肥量越多，糧食產(chǎn)量就越高，但是，施肥量并不能完全確定糧食產(chǎn)量，因?yàn)榧Z食產(chǎn)量還與其他因素的影響有關(guān)，如降雨量、田間管理水平等。因此，糧食與施肥量之間不存在確定的函數(shù)關(guān)系。
人的身高與人的體重也密切相關(guān)，一般來(lái)說，一個(gè)人的身高越高，體重也越重，但同樣身高的人，其體重不一定相同，身高和體重這兩個(gè)變量之間并不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系。
廣告費(fèi)支出與商品銷售額有密切的關(guān)系，但廣告費(fèi)的支出不能完全決定商品的銷售額。由此可見，后三小題各對(duì)變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系。
點(diǎn)評(píng)：不要認(rèn)為兩個(gè)變量間除了函數(shù)關(guān)系，就是相關(guān)關(guān)系，事實(shí)是上，兩個(gè)變量間可能毫無(wú)關(guān)系。比如地球運(yùn)行的速度與某個(gè)人的行走速度就可認(rèn)為沒有關(guān)系。
例2：已知10只狗的血球體積及紅血球的測(cè)量值如下：
�。�45424648423558403950
y6.536.309.257.506.995.909.496.206.557.72
�。ㄑ蝮w積，ｍｍ），ｙ（血紅球數(shù)，百萬(wàn)）
(1)畫出上表的散點(diǎn)圖;(2)求出回歸直線并且畫出圖形。
解：（１）見下圖
�。ǎ玻�
設(shè)回歸直線為 ，
則 ，
所以所求回歸直線的方程為 ，圖形如下:
點(diǎn)評(píng)：對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析時(shí)，應(yīng)先畫出其散點(diǎn)圖，看其是否呈直線形，再依系數(shù)a、b的計(jì)算公式，算出a、b．由于計(jì)算量較大，所以在計(jì)算時(shí)應(yīng)借助技術(shù)手段，認(rèn)真細(xì)致，謹(jǐn)防計(jì)算中產(chǎn)生錯(cuò)誤．求線性回歸方程的步驟：計(jì)算平均數(shù) ；計(jì)算 的積，求 ；計(jì)算 ；將結(jié)果代入公式求ａ；用 求ｂ；寫出回歸方程。
【同步訓(xùn)練】
1 . 下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系哪個(gè)不是函數(shù)關(guān)系（ ）
A．角度和它的余弦值B.正方形邊長(zhǎng)和面積
C．正ｎ邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和D.人的年齡和身高
2．某市紡織工人的月工資（元）依勞動(dòng)生產(chǎn)率（千元）變化的回歸方程為y=50+80x，則下列說法中正確的是 （ ）
A．勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，月工資為130元
B．勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，月工資提高約為130元
C．勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，月工資提高約為80元
D．月工資為210元時(shí)，勞動(dòng)生產(chǎn)率為2000元
3．設(shè)有一個(gè)回歸方程為y=2-1.5x，則變量x每增加一個(gè)單位時(shí)，y平均 （ ）
A．增加1.5單位 B．增加2單位 C．減少1.5單位 D．減少2單位
4．正常情況下，年齡在18歲到38歲的人們，體重y（kg）依身高x（cm）的回歸方程為y=0.72x-58.5。張紅紅同學(xué)不胖不瘦，身高1米78，他的體重應(yīng)在 kg左右。
5.給出施化肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)數(shù)據(jù)：
施化肥量x15202530354045
水稻產(chǎn)量y330345365405445450455
(1)畫出上表的散點(diǎn)圖;(2)求出回歸直線并且畫出圖形
【拓展嘗新】
6．在某種產(chǎn)品表面進(jìn)行腐蝕線試驗(yàn)，得到腐蝕深度y與腐蝕時(shí)間x之間對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)：
時(shí)間t(s)5101520304050607090120
深度y(μm)610101316171923252946
(1)畫出散點(diǎn)圖；
(2)試求腐蝕深度y對(duì)時(shí)間t的回歸直線方程。
【解答】
1． D 2．C 3．C 4．69.66
5．解：(1)散點(diǎn)圖（略）．
(2)表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行具體計(jì)算，列成以下表格
i1234567
xi15202530354045
yi330345365405445450455
xiyi49506900912512150155751800020475
故可得到 。
6．解：(1)散點(diǎn)圖略，呈直線形.
(2)經(jīng)計(jì)算可得：
類比推理
1.2 類比推理
過程
一．問題情境
從一個(gè)傳說說起：春秋時(shí)代魯國(guó)的公輸班（后人稱魯班，被認(rèn)為是木匠業(yè)的祖師）一次去林中砍樹時(shí)被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子.
他的思路是這樣的：
茅草是齒形的；茅草能割破手. 我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的.
這個(gè)推理過程是歸納推理嗎？
二．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)
我們?cè)倏磶讉�(gè)類似的推理實(shí)例。
例1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。
等式的性質(zhì)： 猜想不等式的性質(zhì)：
(1) a=ba+c=b+c; (1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc; (2) a＞b ac＞bc;
(3) a=ba2=b2;等等。 (3) a＞ba2＞b2;等等。
問：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？
例2、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類比.
圓的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.
球的定義：到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.
圓 球
弦←→截面圓
直徑←→大圓
周長(zhǎng)←→表面積
面積←→體積
圓的性質(zhì)球的性質(zhì)
圓心與弦(不是直徑)的中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與截面圓(不是大圓)的圓點(diǎn)的連線垂直于截面圓
與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長(zhǎng)與球心距離相等的兩截面圓相等；與球心距離不等的兩截面圓不等，距球心較近的截面圓較大
圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)球的切面垂直于過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過球心且垂直于切面的直線必經(jīng)過切點(diǎn)
經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切面的直線必經(jīng)過球心
☆上述兩個(gè)例子均是這種由兩個(gè)（兩類）對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出他們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤�；或其中一類�?duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡(jiǎn)稱類比）．
簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．
類比推理的一般步驟：
�、� 找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征；
�、� 用一類對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想；
�、� 檢驗(yàn)猜想。即
例3.在平面上,設(shè)ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高.P為三角形內(nèi)任一點(diǎn),P到相應(yīng)三邊的距離分別為pa,pb,pc,我們可以得到結(jié)論:
試通過類比,寫出在空間中的類似結(jié)論.
鞏固提高
1．(2001年上海)已知兩個(gè)圓①x2+y2=1:與②x2+(y-3)2=1,則由①式減去②式可得上述兩圓的對(duì)稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個(gè)更一般的命題,而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一個(gè)特例,推廣的命題為-----------------------------
2．類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想．
直角三角形 3個(gè)面兩兩垂直的四面體
∠C＝90°
3個(gè)邊的長(zhǎng)度a，b，c
2條直角邊a，b和1條斜邊c ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4個(gè)面的面積S1，S2，S3和S
3個(gè)“直角面” S1，S2，S3和1個(gè)“斜面” S
3．（2004，北京）定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。
已知數(shù)列 是等和數(shù)列，且 ，公和為5，那么 的值為______________，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和 的計(jì)算公式為________________
1．類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。
2．類比推理的一般步驟：
�、僬页鰞深愂挛镏g的相似性或者一致性。
2.2二項(xiàng)分布及其應(yīng)用教案三（新人教A版選修2-3）
2．2．2事的相互獨(dú)立性
目標(biāo)：
知識(shí)與技能：理解兩個(gè)事相互獨(dú)立的概念。
過程與方法：能進(jìn)行一些與事 獨(dú)立有關(guān)的概率的計(jì)算。
情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過對(duì)實(shí)例的分析，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。
重點(diǎn)：獨(dú)立事 同時(shí)發(fā)生的概率
教學(xué)難點(diǎn)：有關(guān)獨(dú)立事發(fā)生的概率計(jì)算
授類型：新授
時(shí)安排：2時(shí)
教 具：多媒體、實(shí)物投影儀
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1 事的定義：隨機(jī)事：在一定條下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事；
必然事：在一定條下必然發(fā)生的事；
不可能事：在 一定條下不可能發(fā)生的事
2．隨機(jī)事的概率：一般地，在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事 發(fā)生的頻率 總是接近某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事 的概率，記作 ．
3.概率的確定方法：通過進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)，用這個(gè)事發(fā)生的頻率近似地作為它的概率；
4．概率的性質(zhì)：必然事的概率為 ，不可能事的概率為 ，隨機(jī)事的概率為 ，必然事和不可能事看作隨機(jī)事的兩個(gè)極端情形
5 基本事：一次試驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果（事 ）稱為一個(gè)基本事
6．等可能性事：如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有 個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每個(gè)基本事的概率都是 ，這種 事叫等可能性事
7．等可能性事的概率：如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有 個(gè)，而且所有結(jié)果都是等可能的，如果事 包含 個(gè)結(jié)果，那么事 的概率
8．等可能性事的概率公式及一般求解方法
9.事的和的意義:對(duì)于事A和事B是可以進(jìn)行加法運(yùn)算的
10 互斥事:不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事．
一般地：如果事 中的任何兩個(gè)都是互斥的，那么就說事 彼此互斥
11．對(duì)立事:必然有一個(gè)發(fā)生的互斥事．
12．互斥事的概率的求法:如果事 彼此互斥，那么
探究:
(1)甲、乙兩人各擲一枚硬幣，都是正面朝上的概率是多少？
事 ：甲擲一枚硬幣，正面朝上；事 ：乙擲一枚硬幣，正面朝上
(2)甲壇子里有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙壇子里有2個(gè)白球，2個(gè)黑球，從這兩個(gè)壇子里分別摸出1個(gè)球，它們都是白球的概率是多少？
事 ：從甲壇子里摸出1個(gè)球，得到白球；事 ：從乙壇子里摸出1個(gè)球，得到白球
問題(1)、(2)中事 、 是否互斥？（不互斥）可以同時(shí)發(fā)生嗎？（可以）
問題(1)、(2)中事 （或 ）是否發(fā)生對(duì)事 （或 ）發(fā)生的概率有無(wú)影響？（無(wú)影響）
思考:三張獎(jiǎng)券中只有一張能中獎(jiǎng),現(xiàn)分別由三名同學(xué)有放回地抽取,事A為“第一名同學(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”, 事B為“最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”. 事A的發(fā)生會(huì)影響事B 發(fā)生的概率嗎?
顯然，有放回地抽取獎(jiǎng)券時(shí)，最后一名同學(xué)也是從原的三張獎(jiǎng)券中任抽一張，因此第一名同學(xué)抽的結(jié)果對(duì)最后一名同學(xué)的抽獎(jiǎng)結(jié)果沒有影響，即事A的發(fā)生不會(huì)影響事B 發(fā)生的概率．于是
P（B A）=P(B）,
P（AB）=P( A ) P ( B A）=P（A）P(B).
二、講解新：
1．相互獨(dú)立事的定義：
設(shè)A, B為兩個(gè)事，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 則稱事A與事B相互獨(dú)立（mutually independent ) .
事 （或 ）是否發(fā)生對(duì)事 （或 ）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事叫做相互獨(dú)立事
若 與 是相互獨(dú)立事，則 與 ， 與 ， 與 也相互獨(dú)立
2．相互獨(dú)立事同時(shí)發(fā)生的概率：
問題2中，“從這兩個(gè)壇子里分別摸出1個(gè)球，它們都是白球”是一個(gè)事，它的發(fā)生，就是事 ， 同時(shí)發(fā)生，記作 ．（簡(jiǎn)稱積事）
從甲壇子里摸出1個(gè)球，有5種等可能的結(jié)果；從乙壇子里摸出1個(gè)球，有4種等可能的結(jié)果 于是從這兩個(gè)壇子里分別摸出1個(gè)球，共有 種等可能的結(jié)果 同時(shí) 摸出白球的結(jié)果有 種 所以從這兩個(gè)壇子里分別摸出1個(gè)球，它們都是白球的概率 ．
另一方面，從甲壇子里摸出1個(gè)球，得到白球的概率 ，從乙壇子里摸出1個(gè)球，得到白球的概率 ．顯然 ．
這就是說，兩個(gè)相互獨(dú)立事同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事發(fā)生的概率的積 一般地，如果事 相互獨(dú)立，那么這 個(gè)事同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事發(fā)生的概率的積，
即 ．
3．對(duì)于事A與B及它們的和事與積事有下面的關(guān)系：
三、講解范例：
例 1.某商場(chǎng)推出二次開獎(jiǎng)活動(dòng)，凡購(gòu)買一定價(jià)值的商品可以獲得一張獎(jiǎng)券．獎(jiǎng)券上有一個(gè)兌獎(jiǎng)號(hào)碼，可以分別參加兩次抽獎(jiǎng)方式相同的兌獎(jiǎng)活動(dòng)．如果兩次兌獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)概率都是 0 . 05 ，求兩次抽獎(jiǎng)中以下事的概率：
(1)都抽到某一指定號(hào)碼；
(2)恰有一次抽到某一指定號(hào)碼；
(3)至少有一次抽到某一指定號(hào)碼．
解： (1)記“第一次抽獎(jiǎng)抽到某一指定號(hào)碼”為事A, “第二次抽獎(jiǎng)抽到某一指定號(hào)碼”為事B ，則“兩次抽獎(jiǎng)都抽到某一指定號(hào)碼”就是事AB．由于兩次抽獎(jiǎng)結(jié)果互不影響，因此A與B相互獨(dú)立．于是由獨(dú)立性可得，兩次抽獎(jiǎng)都抽到某一指定號(hào)碼的概率
P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.
(2 ) “兩次抽獎(jiǎng)恰有一次抽到某一指定號(hào)碼”可以用（A ）U（ B）表示．由于事A 與 B互斥，根據(jù)概率加法公式和相互獨(dú)立事的定義，所求的概率為
P (A ）十P（ B）=P（A）P（ ）+ P（ ）P（B )
= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.
( 3 ) “兩次抽獎(jiǎng)至少有一次抽到某一指定號(hào)碼”可以用（AB ) U ( A ）U（ B）表示．由于事 AB , A 和 B 兩兩互斥，根據(jù)概率加法公式和相互獨(dú)立事的定義，所求的概率為 P ( AB ) + P（A ）+ P（ B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.
例2.甲、乙二射擊運(yùn)動(dòng)員分別對(duì)一目標(biāo)射擊 次，甲射中的概率為 ，乙射中的概 率為 ，求：
�。�1） 人都射中目標(biāo)的概率；
（2） 人中恰有 人射中目標(biāo)的概率；
（3） 人至少有 人射中目標(biāo)的概率；
�。�4） 人至多有 人射中目標(biāo)的概率？
解：記“甲射擊 次，擊中目標(biāo)”為事 ，“乙射擊 次，擊中目標(biāo)”為事 ，則 與 ， 與 ， 與 ， 與 為相互獨(dú)立事，
�。�1） 人都射中的概率為：
∴ 人都射中目標(biāo)的概率是 ．
（2）“ 人各射擊 次，恰有 人射中目標(biāo)”包括兩種情況：一種是甲擊中、乙未擊中（事 發(fā)生），另一種是甲未擊中、乙擊中（事 發(fā)生） 根據(jù)題意，事 與 互斥，根據(jù)互斥事的概率加法公式和相互獨(dú)立事的概率乘法公式，所求的概率為：
∴ 人中恰有 人射中目標(biāo)的概率是 ．
�。�3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2種情況，其概率為 ．
�。ǚ�2）：“2人至少有一個(gè)擊中”與“2人都未擊中”為對(duì)立事，
2個(gè)都未擊中目標(biāo)的概率是 ，
∴“兩人至少有1人擊中目標(biāo)”的概率為 ．
（4）（法1）：“至多有1人擊中目標(biāo)”包括“有1人擊中”和“2人都未擊中”，
故所求概率為：
�。ǚ�2）：“至多有1人擊中目標(biāo)”的對(duì)立事是“2人都擊中目標(biāo)”，
故所求概率為
例 3.在一段線路中并聯(lián)著3個(gè)自動(dòng)控制的常開開關(guān)，只要其中有1個(gè)開關(guān)能夠閉合，線路就能正常工作 假定在某段時(shí)間內(nèi)每個(gè)開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率
解：分別記這段時(shí)間內(nèi)開關(guān) ， ， 能夠閉合為事 ， ， ．
由題意，這段時(shí)間內(nèi)3個(gè)開關(guān)是否能夠閉合相互之間沒有影響 根據(jù)相互獨(dú)立事的概率乘法公式，這段時(shí)間內(nèi)3個(gè)開關(guān)都不能閉合的概率是
∴這段時(shí)間內(nèi)至少有1個(gè)開關(guān)能夠閉合，，從而使線路能正常工作的概率是
答：在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率是 ．
變式題1：如圖添加第四個(gè)開關(guān) 與其它三個(gè)開關(guān)串聯(lián)，在某段時(shí)間內(nèi)此開關(guān)能夠閉合的概率也是0.7，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率
變式題2：如圖兩個(gè)開關(guān)串聯(lián)再與第三個(gè)開關(guān)并聯(lián)，在某段時(shí)間內(nèi)每個(gè)開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率
方法一：
方法二：分析要使這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作只要排除 開且 與 至少有1個(gè)開的情況
例 4.已知某種高炮在它控制的區(qū)域內(nèi)擊中敵機(jī)的概率為0.2．
�。�1）假定有5門這種高炮控制某個(gè)區(qū)域，求敵機(jī)進(jìn)入這個(gè)區(qū)域后未被擊中的概率；
（2）要使敵機(jī)一旦進(jìn)入這個(gè)區(qū)域后有0.9以上的概率被擊中，需至少布置幾門高炮？
分析:因?yàn)閿硻C(jī)被擊中的就是至少有1門高炮擊中敵機(jī)，故敵機(jī)被擊中的概率即為至少有1門高炮擊中敵機(jī)的概率
解:（1）設(shè)敵機(jī)被第k門高炮擊中的事為 (k=1,2,3,4,5)，那么5門高炮都未擊中敵機(jī)的事為 ．
∵事 ， ， ， ， 相互獨(dú)立，
∴敵機(jī)未被擊中的概率為
∴敵機(jī)未被擊中的概率為 ．
�。�2）至少需要布置 門高炮才能有0.9以上的概率被擊中，仿（1）可得：
敵機(jī)被擊中的概率為1-
∴令 ，∴
兩邊取常用對(duì)數(shù)，得
∴至少需要布置11門高炮才能有0.9以上的概率擊中敵機(jī)
點(diǎn)評(píng)：上面例1和例2的解法，都是解應(yīng)用題的逆向思考方法 采用這種方法在解決帶有詞語(yǔ)“至多”、“至少”的問題時(shí)的運(yùn)用，常常能使問題的解答變得簡(jiǎn)便
四、堂練習(xí)：
1．在一段時(shí)間內(nèi)，甲去某地的概率是 ，乙去此地的概率是 ，假定兩人的行動(dòng)相互之間沒有影響，那么在這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去此地的概率是( )
2．從甲口袋內(nèi)摸出1個(gè)白球的概率是 ，從乙口袋內(nèi)摸出1個(gè)白球的概率 是 ，從兩個(gè)口袋內(nèi)各摸出1個(gè)球，那么 等于（ ）
2個(gè)球都是白球的概率 2個(gè)球都不是白球的概率
2個(gè)球不都是白球的概率 2個(gè)球中恰好有1個(gè)是白球的概率
3．電燈泡使用時(shí)間在1000小時(shí)以上概率為0.2，則3個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)后壞了1個(gè)的概率是（ ）
0.128 0.096 0.104 0.384
4．某道路的 、 、 三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時(shí)間分別為25秒、35秒、45 秒，某輛車在這條路上行駛時(shí)，三處都不停車的概率是 （ ）
5．（1）將一個(gè)硬幣連擲5次，5次都出現(xiàn)正面的概率是 ；
�。�2）甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)同時(shí)作天氣預(yù)報(bào)，如果它們預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率分別是0.8與0.7，那么在一次預(yù)報(bào)中兩個(gè)氣象臺(tái)都預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率是 ．
6．棉籽的發(fā)芽率為0.9，發(fā)育為壯苗的概率為0.6，
�。�1）每穴播兩粒，此穴缺苗的概率為 ；此穴無(wú)壯苗的概率為 ．
�。�2）每穴播三粒，此穴有苗的概率為 ；此穴有壯苗的概率為 ．
7．一個(gè)工人負(fù)責(zé)看管4臺(tái)機(jī)床，如果在1小時(shí)內(nèi)這些機(jī)床不需要人去照顧的概率第1臺(tái)是0.79，第2臺(tái)是0 .79，第3臺(tái)是0.80，第4臺(tái)是0.81，且各臺(tái)機(jī)床是否需要照顧相互之間沒有影響，計(jì)算在這個(gè)小時(shí)內(nèi)這4臺(tái)機(jī)床都不需要人去照顧的概率.
8．制造一種零，甲機(jī)床的廢品率是0.04，乙機(jī)床的廢品率是0.05．從它們制造的產(chǎn)品中各任抽1，其中恰有 1廢品的概率是多少？
9 ．甲袋中有8個(gè)白球，4個(gè)紅球；乙袋中有6個(gè)白球，6個(gè)紅球，從每袋中任取一個(gè)球，問取得的球是同色的概率是多少？
答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1) (2)
6.(1) , (2) ,
7. P=
8. P=
9. 提示：
五、小結(jié) ：兩個(gè)事相互獨(dú)立，是指它們其中一個(gè)事的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事發(fā)生的概率沒有影響 一般地，兩個(gè)事不可能即互斥又相互獨(dú)立，因?yàn)榛コ馐率遣豢赡芡瑫r(shí)發(fā)生的，而相互獨(dú)立事是以它們能夠同時(shí)發(fā)生為前提的 相互獨(dú)立事同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事發(fā)生的概率的積,這一點(diǎn)與互斥事的概率和也是不同的
六、后作業(yè)：本58頁(yè)練習(xí)1、2、3 第60頁(yè) 習(xí)題 2. 2A組4. B組1
七、板書設(shè)計(jì)（略）
八、教學(xué)反思：
1. 理解兩個(gè)事相互獨(dú)立的概念。
2. 能進(jìn)行一些與事獨(dú)立有關(guān)的概率的計(jì)算。
3. 通過對(duì)實(shí)例的分析，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。
數(shù)列教案
2.1 數(shù)列的概念
一、知識(shí)要點(diǎn)
1、數(shù)列的定義：按照一定 排列的一列數(shù)叫數(shù)列.數(shù)列中的 都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首 項(xiàng)），第2項(xiàng), …,第n項(xiàng), …數(shù)列的一般形式可以寫成： ，其中 是數(shù)列的 ，叫做數(shù)列的 ，我們通常把一般形式的數(shù)列簡(jiǎn)記作 。
2、數(shù)列的表示:
(1)列舉法:將每一項(xiàng)一一列舉出表示數(shù)列的方法.
(2)圖像法:由(n,an)點(diǎn)構(gòu)成的一些孤立的點(diǎn);
(3)解析法:用通項(xiàng)公式an=f(n)（ ）表示.
通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{ }中的第n項(xiàng) 與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，則稱此公式為數(shù)列的 .
數(shù)列通項(xiàng)公式的作用：
①求數(shù)列中任意一項(xiàng)；
②檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項(xiàng).
思考與討論:
①數(shù)列與數(shù)集有什么區(qū)別？
與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項(xiàng)也有三個(gè)性質(zhì)；
確定性：一個(gè)數(shù)在不在數(shù)列中，即一個(gè)數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)是確定的。
可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)。
有序性：一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且與這些數(shù)的排列次序也有關(guān)。
�、谑欠袼械臄�(shù)列都有通項(xiàng)公式？
③{ }與 有什么區(qū)別？
�、冗f推公式法:用前n項(xiàng)的值與它相鄰的項(xiàng)之間的關(guān)系表示各項(xiàng). 遞推公式也是求數(shù)列的一種重要的方法，但并不是所有的數(shù)列都有遞推公式。
3、數(shù)列與函數(shù)
從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)?（或它的 ）的函數(shù) ，當(dāng)自變量按照從小到大的'順序依次取值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.數(shù)列的 是相應(yīng)的函數(shù)的解析式，它的圖像是 。
4、數(shù)列分類：
按項(xiàng)數(shù)分類： ， .
按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類： ，
5、任意數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的性質(zhì)
= a1+ a2+ a3+ ……+ an
6、求數(shù)列中最大最小項(xiàng)的方法：
最大 最小 ，考慮數(shù)列的單調(diào)性.
二、典例分析
題型1: 用觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)公式
例1、根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)，寫出一個(gè)通項(xiàng).
�、�-1,7,-13,19,…；
⑵7,77,777,777,…；
根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)的規(guī)律，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，主要從以下幾個(gè)方面考慮：
⑴通常先將每項(xiàng)分解成幾部分（如符號(hào)、絕對(duì)值、分子、分母、底數(shù)、指數(shù)等），然后觀察各部分與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系寫通項(xiàng).
�、普�(fù)相間的問題，符號(hào)用（－1）n或（－1）n+1調(diào)節(jié)，這是因?yàn)閚和n+1奇偶交錯(cuò).
⑶分式形式的數(shù)列，分子找通項(xiàng)，分母找通項(xiàng)，要充分借助分子、分母的關(guān)系.
⑷較復(fù)雜的數(shù)列的通項(xiàng)公式，可借助一些熟知數(shù)列，如數(shù)列{n2}，{ }，{2n}， ， {10n－1}，{1－10—n }等.
⑸有些數(shù)列的通項(xiàng)公式可用分段函數(shù)形式表示.
題型2: 運(yùn)用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)
例2、已知數(shù)列 的前n項(xiàng)的和 .
�、艑懗鰯�(shù)列的通項(xiàng)公式；
�、婆袛� 的單調(diào)性.
題型3:運(yùn)用函數(shù)思想解決數(shù)列問題
例3、已知數(shù)列 中， 它的最小項(xiàng)是（ ）
A.第一項(xiàng)B.第二項(xiàng)C.第三項(xiàng)D. 第二項(xiàng)或第三項(xiàng)
題型4: 遞推數(shù)列
例4、⑴若數(shù)列 中， ，且各項(xiàng)滿足 ，寫出該數(shù)列的前5項(xiàng)．
�、埔阎獢�(shù)列{an}中， ，且各項(xiàng)滿足 ，寫出該數(shù)列的前5項(xiàng).
三、時(shí)作業(yè)
1.數(shù)列 …的一個(gè)通項(xiàng)公式是 （ ）
2.已知數(shù)列 滿足 ,則數(shù)列 是( )
A. 遞增數(shù)列B. 遞減數(shù)列C. 擺動(dòng)數(shù)列D. 常數(shù)列
3.已知數(shù)列 的首項(xiàng) 且 ,則 等于( )
A. B. C. D.
4.已知數(shù)列 中, ,
則 等于( )
A. B. C. D.
5.已知數(shù)列 對(duì)任意的 滿足 ，且 ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
6.已知數(shù)列{ }的前 項(xiàng)和 ，第 項(xiàng)滿足 ，則 （ ）
A． B． C. D．
7.數(shù)列 ，…，則按此規(guī)律， 是這個(gè)數(shù)列的第 項(xiàng).
8.已知數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ，則 = ， 65是它的第 項(xiàng).
9.在數(shù)列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x應(yīng)為_______.
10.寫出下列數(shù)列的通項(xiàng)公式：
⑥1,0,1,0,1,0,…；
11.已知數(shù)列
�。�1）求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；
（2） 是不是該數(shù)列中的項(xiàng)，為什么？
�。�3）求證：數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間（0，1）內(nèi)；
�。�4）在區(qū)間 內(nèi)有無(wú)數(shù)列中的項(xiàng)？若有，有幾項(xiàng)？若無(wú)，說明理由.
12.已知數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 .
(1)試問 是否是數(shù)列 中的項(xiàng)?
(2)求數(shù)列 的最大項(xiàng).
向量的減法運(yùn)算及其幾何意義
2.2.2 向量的減法運(yùn)算及其幾何意義
目標(biāo)：
1、 了解相反向量的概念；
2、掌握向量的減法，會(huì)作兩個(gè)向量的減向量，并理解其幾何意義；
3、通過闡述向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運(yùn)算，使學(xué)生理解事物之間可以相互轉(zhuǎn)化的辯證思想.
重點(diǎn)：向量減法的概念和向量減法的作圖法.
教學(xué)難點(diǎn)：減法運(yùn)算時(shí)方向的確定.
學(xué) 法：減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運(yùn)算掌握向量的減法運(yùn)算；并利用三角形做出減向量.
教 具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī)
授課類型：新授課
教學(xué)思路：
一、復(fù)習(xí)：向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則
向量加法的運(yùn)算定律：
例：在四邊形中，CB+BA+BC= .
解：CB+BA+BC=CB+BA+AD=CD .
二、提出課題：向量的減法
1．用“相反向量”定義向量的減法
（1） “相反向量”的定義：與a長(zhǎng)度相同、方向相反的向量.記作 -a
（2） 規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a.
任一向量與它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0
如果a、b互為相反向量，則a = -b， b =-a， a + b = 0
（3） 向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差.
即：a - b = a + (-b) 求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.
2．用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法：
向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算：
若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作a - b
3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量
∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a
作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，
作 = a， = b
則 = a - b
即a - b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量.
注意：1? 表示a - b.強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)
2?用“相反向量”定義法作差向量，a - b = a + (-b)
顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一.
4．探究：
�。保┤绻麖南蛄縜的終點(diǎn)指向向量b的終點(diǎn)作向量，那么所得向量是b - a.
�。玻┤鬭∥b， 如何作出a - b ？
三、例題：
例1、（P９７ 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d.
解：在平面上取一點(diǎn)O，作 = a， = b， = c， = d，
作 ， ， 則 = a-b， = c-d
例2、平行四邊形 中， a， b，
用a、b表示向量 、 .
解：由平行四邊形法則得：
= a + b， = = a-b
變式一：當(dāng)a， b滿足什么條件時(shí)，a+b與a-b垂直？（a = b）
變式二：當(dāng)a， b滿足什么條件時(shí)，a+b = a-b？（a， b互相垂直）
變式三：a+b與a-b可能是相當(dāng)向量嗎？（不可能，∵ 對(duì)角線方向不同）
練習(xí)：Ｐ98
四、小結(jié)：向量減法的定義、作圖法
五、作業(yè)：P103第4、５題
六、板書設(shè)計(jì)（略）
2.2.2 向量的減法運(yùn)算及其幾何意義
課前預(yù)習(xí)學(xué)案
預(yù)習(xí)目標(biāo)：
復(fù)習(xí)回顧向量的加法法則及其運(yùn)算律，為本節(jié)新授內(nèi)容做好鋪墊。
預(yù)習(xí)內(nèi)容：
向量加法的法則： 。
向量加法的運(yùn)算定律： 。
例：在四邊形中，CB+BA+BC= .
解：CB+BA+BC=CB+BA+AD=CD .
提出疑惑：向量有加法運(yùn)算，那么它有減法嗎？
課內(nèi)探究學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1、 了解相反向量的概念；
2、掌握向量的減法，會(huì)作兩個(gè)向量的減向量，并理解其幾何意義；
3、通過闡述向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運(yùn)算，使學(xué)生理解事物之間可以相互轉(zhuǎn)化的辯證思想.
學(xué)習(xí)過程：
一、提出課題：向量的減法
1．用“相反向量”定義向量的減法
�。�1）“相反向量”的定義： 。
�。�2） 規(guī)定：零向量的相反向量仍是 .-(-a) = a.
任一向量與它的相反向量的和是 .a + (-a) = 0
如果a、b互為相反向量，則a = -b， b = -a， a + b = 0
�。�3） 向量減法的定義： .
即： 求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.
2．用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法：
向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算：
若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作 。
求作差向量：已知向量a、b，求作向量
∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a
作法：
注意：1? 表示a -b.強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向
2?用“相反向量”定義法作差向量，a -b = 。 顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一.
3．探究：
１）如果從向量a的終點(diǎn)指向向量b的終點(diǎn)作向量，那么所得向量是 。
�。玻┤鬭∥b， 如何作出a - b ？
二、例題：
例1、（P９７ 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d.
例2、平行四邊形 中， a， b，
用a、b表示向量 、 .
變式一：當(dāng)a， b滿足什么條件時(shí)，a+b與a?b垂直？（a = b）
變式二：當(dāng)a， b滿足什么條件時(shí)，a+b = a?b？（a， b互相垂直）
變式三：a+b與a?b可能是相當(dāng)向量嗎？（不可能，∵ 對(duì)角線方向不同）
練習(xí)：Ｐ98
三、小結(jié)：向量減法的定義、作圖法
四、作業(yè)：P103第4、５題
課后練習(xí)與提高
1.在△ABC中， =a， =b，則 等于( )?
A.a+b? B.-a+(-b)? C.a-b? D.b-a?
2.O為平行四邊形ABCD平面上的點(diǎn)，設(shè) =a， =b， =c， =d，則A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0? C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0
�。�.如圖，在四邊形ABCD中，根據(jù)圖示填空：?
a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .?
４、如圖所示，O是四邊形ABCD內(nèi)任一點(diǎn)，試根據(jù)圖中給出的向量，確定a、b、c、d的方向（用箭頭表示），使a+b= ，c-d= ，并畫出b-c和a+d.
參考答案：
高二數(shù)學(xué)“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)學(xué)案
第13時(shí)
1.3.2 “楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(一)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).培養(yǎng)觀察發(fā)現(xiàn)，抽象概括及分析解決問題的能力.
學(xué)習(xí)過程
一、學(xué)前準(zhǔn)備
復(fù)習(xí)：（本P37B2）求證：
二、新導(dǎo)學(xué)
探究新知（預(yù)習(xí)教材P29～P31，找出疑惑之處）
問題1：計(jì)算 展開式的二項(xiàng)式系數(shù)并填入下表：
展開式的二項(xiàng)式系數(shù)
1
2
3
4
5
6
應(yīng)用示例
例1．（本P34例3）試證：在 的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.
反饋練習(xí)
1. （本P35練1）填空：
（1） 的各二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是 ；
�。�2） ;
(3) .
2. （本P35練2）證明 （ 是偶數(shù)）.
三、當(dāng)堂檢測(cè)
1. （本P40A(7)） 的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是第 項(xiàng).
2.已知 為正偶數(shù)，且 的展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則第4項(xiàng)的系數(shù)是 .
3.在 的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為（ ）.
A.-7 B.7 C.-28 D.28
2.（本P35練3）寫出 從1到10的二項(xiàng)式系數(shù)表.
后作業(yè)
1．（本P37A7）利用楊輝三角，畫出函數(shù)
的圖象.
2. （本P37A8）已知 的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求這兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).
3.已知在 的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).（1）求 ；（2）求含 的項(xiàng)的系數(shù)；（3）求展開式中所有的有理項(xiàng).
古典概型
基礎(chǔ)訓(xùn)練
1．將1枚硬幣拋2次，恰好出現(xiàn)1次正面的概率是
2．任意說出星期一到星期日中的兩天（不重復(fù)），其中恰有一天是星期六的概率是
3．某銀行儲(chǔ)蓄卡上的密碼是一種4位數(shù)字號(hào)碼，每位上的數(shù)字可在0，1，2，…，9這10個(gè)數(shù)字中選取，某人未記住密碼的最后一位數(shù)字，若按下密碼的最后一位數(shù)字，則正好按對(duì)密碼的概率是
4．連續(xù)3次拋擲一枚硬幣，則正、反面交替出現(xiàn) 的概率是
5．在坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn) 在x軸上方的概 率是
典型例題
例1 擲一顆骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，求擲得奇數(shù)點(diǎn)的概率。
分析：擲骰子有6個(gè)基本事件，具有有限性和等可能性， 因此是古典概型。
解：這個(gè)試驗(yàn)的基本事件共有6個(gè)，即（出現(xiàn)1點(diǎn)）、（出現(xiàn)2點(diǎn)）……、（出現(xiàn)6點(diǎn)）
所以基本事件數(shù)n=6，
事件A=（擲得奇數(shù)點(diǎn)）=（出現(xiàn)1點(diǎn)，出現(xiàn)3點(diǎn)，出現(xiàn)5點(diǎn)），
其包含的基本事件數(shù)m=3
所以，P（A）= = = =0.5
小結(jié)：利用古典概型的計(jì)算公式時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：
（1）所有的基本事件必須是互斥的；
�。�2）m為事件A所包含的基本事件數(shù)，求m值時(shí)，要做到不重不漏。
例2 從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率。
解：每次取出一個(gè)，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有6個(gè)，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括號(hào)內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)用A表示“取出的兩種中，恰好有一件次品”這一事件，則
A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]
事件A由4個(gè)基本事件組成，因而，P（A）= =
例3 現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件，其中8件為正品，2件為次品：
�。�1）如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù)3次取出的都是正品的概率；
�。�2）如果從中一次取3件，求3件都是正品的概率．
分析：（1）為返 回抽樣；（2）為不返回抽樣．
解：（1）有放回地抽取3次，按抽取順序（x,y,z）記錄結(jié)果，則x,y,z都有10種可能，所以試驗(yàn)結(jié)果有10×10×10=103種；設(shè)事件A為“連續(xù)3次都取正品”，則包含的基本事件共有8×8×8=83種，因此，P(A)= =0.512．
�。�2）解法1：可以看作不放回抽樣3次，順序不同，基本事件不同，按抽取順序記錄（x,y,z），則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，所以試驗(yàn)的所有結(jié)果為10×9×8=720種．設(shè)事件B為“3件都是正品”，則事件B包含的基本事件總數(shù)為8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467．
解法2：可以看作不 放回3次無(wú)順序抽樣，先按抽取順序（x,y,z）記錄結(jié)果，則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以試驗(yàn)的所有結(jié)果有10×9×8÷6=120，按同樣的方法，事件B包含的基本事件個(gè)數(shù)為8×7×6÷6=56，因此P(B)= ≈0.467．
小結(jié)：關(guān)于不放回抽樣，計(jì)算基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，既可以看作是有順序的，也可以看作是無(wú)順序的，其結(jié) 果是一樣的，但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤．
課堂精煉
1.從一副撲克牌(54張)中抽一張牌，抽到牌“K”的概率是 。
答案：
2.將一枚硬幣拋兩次,恰好出現(xiàn)一次正面的概率是 。
答案：
3.從標(biāo)有1,2,3,4,5,6,7, 8,9的9張紙片中任取2張,那么這2 張紙片數(shù)字之積為偶數(shù)的概率為 。
答案： 4.同時(shí)擲兩枚骰子,所得點(diǎn)數(shù)之和為5的概率為 ；
點(diǎn)數(shù)之和大于9的概率為 。
答案： ；
5.一個(gè)口袋里裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球,這4 個(gè)球除顏色外完全相同,從中摸出2個(gè)球,則1個(gè)是白球,1個(gè)是黑球的概率是 。
答案：
6.先后拋3枚均勻的硬幣,至少出現(xiàn)一次正面的概率為 。
答案：
7．一個(gè)正方體，它的表面涂滿了紅色，在它的每個(gè)面上切兩刀，可得27個(gè)小正方體，從中任取一個(gè)它恰有一個(gè)面涂有紅色的概率是 。
答案：
8.從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中任取兩個(gè),則這兩個(gè)數(shù)正好相差1的概率是________。
答案：
9．口袋里裝有兩個(gè)白球和兩個(gè)黑球，這四個(gè)球除顏色外完全相同，四個(gè)人按順序依次從中摸出一球，試求“第二個(gè)人摸到白球”的概率。
答案：把四人依次編號(hào)為甲、乙、丙、丁，把兩白球編上序號(hào)1、2，把兩黑球也 編上序號(hào)1、2，于是四個(gè)人按順序依 次從袋內(nèi)摸出一個(gè)球的所有可能結(jié)果，可用樹形圖直觀地表示出來(lái)如 下：
從上面的樹形圖可以看出，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)為24，第二人摸到白球的結(jié)果有12種，記“第二個(gè)人摸到白球”為事件A，則 。
10．袋中有紅、白色球各一個(gè)，每次任取一個(gè)，有放回地抽三次，寫出所有的基本事件，并計(jì)算下列事件的概率：（1）三次顏色恰有兩次同色； （2）三次顏色全相同；
�。�3）三次抽取 的球中紅色球出現(xiàn)的次數(shù)多于白色球出現(xiàn)的次數(shù)。
答案：（紅紅紅）（紅紅白）（紅白紅）（白紅紅）（紅白白）（白紅白）（白白紅）（白白白）
�。�1） （2） （3）
11．已知集合 ， ；
（1）求 為一次函數(shù)的概率； （2）求 為二次函數(shù)的概率。
答案：（1） （2）
12．連續(xù)擲兩次骰子，以先后得到的點(diǎn)數(shù) 為點(diǎn) 的坐標(biāo)，設(shè)圓 的方程為 ；
�。�1）求點(diǎn) 在圓 上的概率； （2）求 點(diǎn) 在圓 外的概率。
答案：（1） （2）
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