八年級(jí)奧數(shù)同步練習(xí)試題
導(dǎo)語(yǔ)：國(guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽由參賽國(guó)輪流主辦，經(jīng)費(fèi)由東道國(guó)提供；但旅費(fèi)由參賽國(guó)自理。下面就由小編為大家?guī)?lái)八年級(jí)奧數(shù)同步練習(xí)試題，大家一起去看看怎么做吧！
Ⅰ四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，連結(jié)EF交BD、AC于M、N，若AC=BD，求證：OM=ON
Ⅱ四邊形ABCD中，E、F、P、Q分別是AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)，M、N分別是PB、QC的中點(diǎn)，求證EF平分MN。
Ⅲ四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，BA延長(zhǎng)線交FE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，CD延長(zhǎng)線交FE延長(zhǎng)線于點(diǎn)H。求證：,∠BGF=∠CHF。
Ⅳ在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到M，N是BM的中點(diǎn)，H是EN的中點(diǎn)，連結(jié)DH交BM于F。求證：CF=FM
Ⅴ△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC，E是BC中點(diǎn)，求證：AB=2DE
Ⅵ梯形ABCD中，AB平行DC，∠D+∠C=90°，E、F分別是AB、DC的中點(diǎn)，求證：EF=1/2(DC-AB)
Ⅶ已知AH是△ABC中∠BAC的角平分線，在AB、AC上分別截取BD=CE，M是DE的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，求證：MN平行AH
Ⅸ已知，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，CM⊥BC交BD延長(zhǎng)線于M，MF⊥AB于F。求證：BE=EF
以下主要用到平行四邊形的基本性質(zhì)和角平分線定理(若AD平分角BAC，交BC于D，則AB/AC=BD/BC。證明也是用中位線的.。)
I 過(guò)D作AC的平行線，過(guò)C作AD的平行線，二者相交于G，延長(zhǎng)EF交DG于H。則ACGD是平行四邊形，從而對(duì)角線AG與CD互相平分，于是A、F、G三點(diǎn)共線且EF是三角形ABG的中位線。這樣，EF平行于BG，角DMH=角DBG，角DHM=角DGB。但是DG=AC=BD，所以三角形DBG是等腰三角形，于是角DBG=角DGB，得到角DMH=角DHM。又因?yàn)镈G平行于AC，角DHM=角ONM，而角DMH與角OMN是對(duì)頂角，從而角ONM=角 OMN，得到OM=ON。
II 由中位線性質(zhì)可知，EPFQ是平行四邊形，從而EF平分PQ。設(shè)EF交PQ于O，則ON是三角形QPC的中位線，于是ON平行于CP且 ON=1/2(CP)。另外，F(xiàn)M是三角形BPC的中位線，于是FM平行于CP且FM=1/2(CP)。這樣，F(xiàn)MON是平行四邊形，對(duì)角線互相平分，于是FO平分MN，也即EF平分MN。
III 將三角形DEH旋轉(zhuǎn)180度，使得D與A重合。設(shè)C、H、F分別變成I，J，K。則角IKE=角CFE，從而IK平行于BF。但是BF=FC=IK，于是 BF與IK平行且相等，即：BFKI是平行四邊形，于是BI平行于JG。于是角AIB=角AJG，角ABI=角AGJ。此時(shí)由于AI=CD=AB，角 AIB=角ABI，于是角AJG=角AGJ。但是角AJG=角DHE，于是角DHE=角AGJ，也即角BGF=角CHF。
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