大學(xué)數(shù)學(xué)線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)
線性代數(shù)作為構(gòu)成考研數(shù)學(xué)的三大科目之一，重要性不言而喻。本文為大家總結(jié)了線性代數(shù)科目的知識(shí)點(diǎn)框架，希望可以幫助到大家。考線性代數(shù)的學(xué)習(xí)切入點(diǎn)是線性方程組。
換言之，可以把線性代數(shù)看作是在研究線性方程組這一對(duì)象的過程中建立起來的學(xué)科。
線性方程組
線性方程組的特點(diǎn)：方程是未知數(shù)的一次齊次式，方程組的數(shù)目s和未知數(shù)的個(gè)數(shù)n可以相同，也可以不同。
關(guān)于線性方程組的解，有三個(gè)問題值得討論：
1、方程組是否有解，即解的存在性問題；
2、方程組如何求解，有多少個(gè)；
3、方程組有不止一個(gè)解時(shí)，這些不同的解之間有無內(nèi)在聯(lián)系，即解的結(jié)構(gòu)問題。
高斯消元法
這最基礎(chǔ)和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對(duì)方程的同解變換：
1、把某個(gè)方程的k倍加到另外一個(gè)方程上去；
2、交換某兩個(gè)方程的位置；
3、用某個(gè)常數(shù)k乘以某個(gè)方程。我們把這三種變換統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換。
任意的線性方程組都可以通過初等變換化為階梯形方程組。
由具體例子可看出，化為階梯形方程組后，就可以依次解出每個(gè)未知數(shù)的值，從而求得方程組的解。
對(duì)方程組的解起決定性作用的'是未知數(shù)的系數(shù)及其相對(duì)位置，所以可以把方程組的所有系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)按原來的位置提取出來，形成一張表，通過研究這張表，就可以判斷解的情況。我們把這樣一張由若干個(gè)數(shù)按某種方式構(gòu)成的表稱為矩陣。
可以用矩陣的形式來表示一個(gè)線性方程組，這至少在書寫和表達(dá)上都更加簡(jiǎn)潔。
系數(shù)矩陣和增廣矩陣
高斯消元法中對(duì)線性方程組的初等變換，就對(duì)應(yīng)的是矩陣的初等行變換。階梯形方程組，對(duì)應(yīng)的是階梯形矩陣。換言之，任意的線性方程組，都可以通過對(duì)其增廣矩陣做初等行變換化為階梯形矩陣，求得解。
階梯形矩陣的特點(diǎn)：左下方的元素全為零，每一行的第一個(gè)不為零的元素稱為該行的主元。
對(duì)不同的線性方程組的具體求解結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)（有唯一解、無解、有無窮多解），再經(jīng)過嚴(yán)格證明，可得到關(guān)于線性方程組解的判別定理：首先是通過初等變換將方程組化為階梯形，若得到的階梯形方程組中出現(xiàn)d=0這一項(xiàng)，則方程組無解，若未出現(xiàn)d=0一項(xiàng)，則方程組有解；在方程組有解的情況下，若階梯形的非零行數(shù)目r等于未知量數(shù)目n，方程組有唯一解；若r<n，則方程組有無窮多解。
在利用初等變換得到階梯型后，還可進(jìn)一步得到最簡(jiǎn)形，使用最簡(jiǎn)形，最簡(jiǎn)形的特點(diǎn)是主元上方的元素也全為零，這對(duì)于求解未知量的值更加方便，但代價(jià)是之前需要經(jīng)過更多的初等變換。在求解過程中，選擇階梯形還是最簡(jiǎn)形，取決于個(gè)人習(xí)慣。
齊次方程組
常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程稱為齊次方程組，齊次方程組必有零解。
齊次方程組的方程組個(gè)數(shù)若小于未知量個(gè)數(shù)，則方程組一定有非零解。
利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問題：解的存在性問題和如何求解的問題，這是以線性方程組為出發(fā)點(diǎn)建立起來的最基本理論。
對(duì)于n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的特殊情形，我們發(fā)現(xiàn)可以利用系數(shù)的某種組合來表示其解，這種按特定規(guī)則表示的系數(shù)組合稱為一個(gè)線性方程組(或矩陣)的行列式。行列式的特點(diǎn)：有n!項(xiàng)，每項(xiàng)的符號(hào)由角標(biāo)排列的逆序數(shù)決定，是一個(gè)數(shù)。
通過對(duì)行列式進(jìn)行研究，得到了行列式具有的一些性質(zhì)(如交換某兩行其值反號(hào)、有兩行對(duì)應(yīng)成比例其值為零、可按行展開等等)，這些性質(zhì)都有助于我們更方便的計(jì)算行列式。
用系數(shù)行列式可以判斷n個(gè)方程的n元線性方程組的解的情況，這就是克萊姆法則。
總而言之，可把行列式看作是為了研究方程數(shù)目與未知量數(shù)目相等的特殊情形時(shí)引出的一部分內(nèi)容。
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