高二數(shù)學(xué)命題及關(guān)系知識點
上學(xué)的時候，相信大家一定都接觸過知識點吧！知識點也可以通俗的理解為重要的內(nèi)容。那么，都有哪些知識點呢？下面是小編收集整理的高二數(shù)學(xué)命題及關(guān)系知識點，僅供參考，歡迎大家閱讀。
一、知識梳理知識點一 命題及四種命題
1、命題的概念
在數(shù)學(xué)中用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假 的陳述句叫做命題。其中判斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命題
注意：
命題必須是陳述句，疑問句、祈使句、感嘆句
都不是命題。
2、四種命題及其關(guān)系
（1）四種命題間的相互關(guān)系
（2）四種命題的真假關(guān)系
①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；
②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性無關(guān)
注意：（補(bǔ)充）
1、一個命題不可能同時既是真命題又是假命題
知識點二 充分條件與必要條件
1、充分條件與必要條件的概念
（1）充分條件：
pq 則p是q的充分條件
即只要有條件p就能充分地保證結(jié)論q的成立，p成立就足夠了，即有它即可。 亦即要使q成立，有
（2）必要條件：
pq 則q是p的必要條件
pqqp
即沒有q則沒有p，亦即q是p成立的必須要有的條件，即無它不可。
（補(bǔ)充）（3）充要條件
pq且qp即pq
則
“p、q互為充要條件（既是充分又是必要條件）
p”等 p是q的充要條件”也說成“p等價于q”、 “q當(dāng)且僅當(dāng)
（補(bǔ)充）2、充要關(guān)系的類型
（1）充分但不必要條件
定義：若pq，但qp，p是q的充分但不必要條件； 則
（2）必要但不充分條件
定義：若 q
則p，但pq， p是q的必要但不充分條件
（3）充要條件 定義：若 pq，且qp，即pq，p、q互為充要條件； 則
（4）既不充分也不必要條件
定義：若pp， q，且q
p、q互為既不充分也不必要條件。則
3、判斷充要條件的方法：
①定義法；
②集合法；
③逆否法（等價轉(zhuǎn)換法）。
逆否法————利用互為逆否的兩個命題的等價性
集合法————利用集合的觀點概括充分必要條件 若條件p以集合A的形式出現(xiàn)，結(jié)論q以集合B的形式出現(xiàn)，則借助集合知識，有助于充要條件的理解和判斷。
（1）若AB，則p是q的充分但不必要條件
（2）若BA，則p是q的必要但不充分條件
B，則p是q的充要條件
（4）若AB， B且A
則p是q的既不必要也不充分條件 （3）若A（補(bǔ)充）簡記作————若A、B具有包含關(guān)系，則
（1）小范圍是大范圍的充分但不必要條件 （2）大范圍是小范圍的必要但不充分條件
二、例題分析
（一）四種命題及其相互關(guān)系
例1、（1） 命題“若x，y都是偶數(shù)，則x+y也是偶數(shù)”的逆否命題
是（ ）
A、若x+y是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)
B、若x+y是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)
C、若x+y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)
D、若x+y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)
例1、（2）下列命題中正確的是（ ）
①“若a≠0，則ab≠0”的否命題；
②“正多邊形都相似”的逆命題；
③“若m>0，則x2+x—m=0有實根”的逆否命題；
④“若x—3是有理數(shù)，則x是無理數(shù)”的逆否命題。
A、①②③④ B、①③④ C、②③④ D、①④
例1、（3）
（2014·陜西卷）原命題為“若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則|z1|=|z2|”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（ ）
A、真，假，真 B、假，假，真
C、真，真，假 D、假，假，假
問題2
四種命題間關(guān)系的兩條規(guī)律
（1）逆命題與否命題互為逆否命題；
互為逆否命題的兩個命題同真假。
（2）當(dāng)判斷一個命題的真假比較困難時， 可轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假。
同時要關(guān)注“特例法”的應(yīng)用。
例2、（1）（補(bǔ)充）
（2011山東文5）已知a，b，c∈R，命題“若abc=3， 222則abc≥3”的否命題是（ ）
222（A）若a+b+c≠3，則abc<3 12
（B）若a+b+c=3，則a2b2c2<3
（C）若a+b+c≠3，則a2b2c2≥3
（D）若a2b2c2≥3，則a+b+c=3
[來源XK]
例2、（2）（補(bǔ)充）
命題：“若xy0，則x0或y0”的否定是：________
注意：命題的否定與否命題的區(qū)別
（二）充要條件的判斷與證明
例1、（1）（補(bǔ)充） （07湖北）已知p是r的充分條件而不是必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件。現(xiàn)有下列命題：
①s是q的充要條件；
②p是q的充分條件而不是必要條件；
③r是q的必要條件而不是充分條件；
④p是s的必要條件而不是充分條件；
⑤r是s的充分條件而不是必要條件；
則正確命題序號是（ ）
A、①④⑤
B、①②④
C、②③⑤
D、 ②④⑤ pq
注意：
1、利用定義判斷充要條件
方法一 定義法
定義法就是將充要條件的判斷轉(zhuǎn)化為兩個命題
——“若p，則q”與“若q，則p”的判斷，根據(jù)兩個命題是否正確，來確定p與q之間的充要關(guān)系。pq 則p是q的充分條件；
q是p的必要條件
2、利用逆否法判斷充要條件
方法三 等價轉(zhuǎn)化法
當(dāng)所給命題的充要條件不好判定時，可利用四種命題的關(guān)系，對命題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換，常利用原命題與逆命題的真假來判斷p與q的關(guān)系。令p為命題的條件，q為命題的結(jié)論，具體對應(yīng)關(guān)系如下：
①如果原命題真而逆命題假，那么p是q的充分不必要條件；
②如果原命題假而逆命題真，那么p是q的必要不充分條件；
③如果原命題真且逆命題真，那么p是q的充要條件；
④如果原命題假且逆命題假，那么p是q的既不充分也不必要條件。
簡而言之，逆否法————利用互為逆否的兩個命題的等價性
例1、（2）（2014·北京卷）設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，則“q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的（ ）
A、充分而不必要條件
B、必要而不充分條件
C、充分必要條件
D、既不充分也不必要條件
例1、（3）（2014·湖北卷）設(shè)U為全集、A，B是集合，則“存在集合C使得AC，BUC”是“A∩B=”的（ ）
A、充分而不必要條件
B、必要而不充分條件
C、充要條件
D、既不充分也不必要條件
例1、（4）
已知p：—4
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充要條件
D、既不充分也不必要條件
注意：
3、利用集合法判斷充要條件
方法二 集合法
涉及方程的解集、不等式的解集、點集等與集合相關(guān)的命題時，一般采用集合間的包含關(guān)系來判定兩命題之間的充要性。具體對應(yīng)關(guān)系如下：
若條件p以集合A的形式出現(xiàn)，結(jié)論q以集合B的形式出現(xiàn)，則借助集合知識，有助于充要條件的理解和判斷。
（1）若AB，則p是q的充分但不必要條件
p是q的必要但不充分條件
（3）若AB，則p是q的充要條件
（4）若AB， B且A
則p是q的既不必要也不充分條件 （2）若BA，則（補(bǔ)充）簡記作————若A、B具有包含關(guān)系，則
（1）小范圍是大范圍的充分但不必要條件
（2）大范圍是小范圍的必要但不充分條件
log2x，x>0，例2、 例3函數(shù)f（x）=x有且只有一個零2—a，x≤0
點的充分不必要條件是（ ）
11A、a≤0或a>1
B、0
練習(xí)：（補(bǔ)充）
已知p：x3且y2，q：xy5，則p是q的條件。
高中命題及關(guān)系知識點
要點一、命題的概念
用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題。其中判斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命題。
要點詮釋：
1、 不是任何語句都是命題，不能確定真假的語句不是命題，如“”，“2不一定大于3”。
2、只有能夠判斷真假的陳述句才是命題。祈使句，疑問句，感嘆句都不是命題，例如：“起立”、“是有理數(shù)嗎？”、“今天天氣真好！”等。
3、語句能否確定真假是判斷其是否是命題的關(guān)鍵。一個命題要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱兩可。命題陳述了我們所思考的對象具有某種屬性，或者不具有某種屬性，這類似于集合中元素的確定性。
要點二、命題的結(jié)構(gòu)
命題可以改寫成“若，則”的形式，或“如果，那么”的形式。其中是命題的條件，是命題的結(jié)論。
要點詮釋：
1、一般地，命題“若p則q”中的p為命題的條件q為命題的結(jié)論。
2、有些問題中需要明確指出條件p和q各是什么，因此需要將命題改寫為“若p則q”的形式。
要點三、四種命題
原命題：“若，則”；
逆命題：“若，則”；實質(zhì)是將原命題的條件和結(jié)論互相交換位置；
否命題：“若非，則非”，或“若，則”；實質(zhì)是將原命題的條件和結(jié)論兩者分別否定；
逆否命題：“若非，則非”，或“若，則”；實質(zhì)是將原命題的條件和結(jié)論兩者分別否定后再換位或?qū)⒃}的條件和結(jié)論換位后再分別否定。
要點詮釋：
對于一般的數(shù)學(xué)命題，要先將其改寫為“若，則”的形式，然后才方便寫出其他形式的命題。
要點詮釋：
（1）互為逆否命題的兩個命題同真同假；
（2）互為逆命題或互為否命題的兩個命題的真假無必然聯(lián)系。
【典型例題】
類型一：命題的概念
例1、判斷下列語句中哪些是命題，是命題的判斷其是真命題還是假命題。
（1）末位是0的整數(shù)能被5整除；
（2）平行四邊形的對角線相等且互相平分；
（3）兩直線平行，則斜率相等；
（4）△ABC中，若∠A=∠B，則sinA=sinB；
（5）余弦函數(shù)是周期函數(shù)嗎？
【思路點撥】依據(jù)命題的定義判斷。
【解析】
（1）是命題，真命題；
（2）是命題，假命題；
（3）是命題，假命題；
（4）是命題，真命題；
（5）不是命題。這是一個疑問句，沒有做出判斷。
【總結(jié)升華】對于命題真假的判斷應(yīng)根據(jù)已學(xué)習(xí)過的已有定義、定理、公理及已有結(jié)論等進(jìn)行。
舉一反三：
【變式1】判斷下列語句是否為命題？若是，判斷其真假。
（1）；
（2） 當(dāng)時，；
（3） 你是男生嗎？
（4） 求證：是無理數(shù)。
【答案】
（1） 不是命題；由于無法確定變量的值，所以無法確定其真假．
（2） 是命題；假命題．
（3） 不是命題；這是一個疑問句，沒有做出判斷．
（4） 不是命題；這是一個祈使句，沒有做出判斷．
【變式2】下列語句中是命題的是（ ）
A．B．{0}∈N C．元素與集合 D．真子集
【答案】B
【變式3】判斷下列語句是否是命題。
（1）這是一棵大樹；[來源：學(xué)#科#網(wǎng)]
（2）sin30=；
（3）x2+1>0；
（4）梯形是平行四邊形。
【答案】
（1）不是，無法確定“大”；（2）是；（3）是；（4）是。
類型二：命題的結(jié)構(gòu)
例2、指出下面命題的條件和結(jié)論。
（1）對頂角相等；
（2）四邊相等的四邊形是菱形。
【思路點撥】
命題都是一定的條件下推出的一定的結(jié)果，所以據(jù)此確定哪是條件，哪是結(jié)論。
【解析】
（1）原命題寫成：若兩個角是對頂角，則這兩個角相等。條件：兩個角是對頂角；結(jié)論：這兩個角相等。
（2）原命題可寫成：如果一個四邊形的四邊相等，則這個四邊形是菱形。條件：一個四邊形的四邊相等；結(jié)論：這個四邊形是菱形。
【總結(jié)升華】要寫出一個命題的條件和結(jié)論，一般是把一個命題改寫成“如果p，那么q”的形式，其中p是條件，q是結(jié)論。
舉一反三：
【變式】指出下列命題的條件p和結(jié)論q。
（1）若空間四邊形為正四面體，則頂點在底面上的射影為底面的中心；
（2）若兩條直線a和b都和直線c平行，則直線a和直線b平行。
【答案】
（1）條件p：空間四邊形為正四面體；結(jié)論q：頂點在底面上的射影為底面的中心。
（2）條件p：兩直線a、b都和直線c平行；結(jié)論q：直線a和b平行。
例3、將下列命題改寫為“若p，則q”的形式，并判斷其真假。
（1）垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；
（2）對角線相等的平面四邊形是矩形。
【解析】
（1）“若兩個平面垂直于同一條直線，則這兩個平面平行”，真命題。
（2）“若一個平面四邊形的兩條對角線相等，則這個四邊形是矩形”，假命題。
【總結(jié)升華】有一些命題雖然表面上不是“若p，則q”的形式，但適當(dāng)?shù)母膶懞罂梢詫懗伞叭魀，則q”的形式，那么就能很清楚地看出其條件和結(jié)論。
舉一反三：
【變式1】把命題“6是12和24的公約數(shù)”寫成若p則q的形式。
【答案】若一個數(shù)等于6，則這個數(shù)是12和24的公約數(shù)。
【變式2】將下列命題改寫成“若p則q”的形式，并判斷真假。
（1）偶數(shù)能被2整除；
（2）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；
（3）同弧所對的圓周角不相等。
【答案】
（1）若一個數(shù)是偶數(shù)，則它能被2整除；真命題。
（2）若一個函數(shù)是奇函數(shù)，則它的圖象關(guān)于原點對稱；真命題。
（3）若兩個角為同弧所對的圓周角，則它們不相等；假命題。
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