數列數學教案設計
教學目標： 理解數列的概念、表示、分類、通項等基本概念，了解數列和函數之間的關系，了解數列的 通項公式，并會用通項公式寫出數列的任意一項，對于比較簡單的數列，會根據其前幾項寫出它 的一個通項公式；培養學生認真觀察的習慣，培養學生從特殊到一般的歸納能力 教學重點： 1.理解數列概念； 2.用通項公式寫出數列的任意一項. 教學難點： 根據一些數列的前幾項抽象、歸納出數列的通項公式. ,提高觀察、抽象的能力 一、基本概念 數列：按照一定順序排列著的一列數.
數列的項、數列的項數 表示數列的第n項與序號n之間的關系的公式 通項公式：不是所有的數列都有通項公式 n n +1 、( 1) 符號控制器：如( 1) 遞推公式：表示任一項與它的前一項(或前幾項)間的關系的公式.
有窮數列：項數有限的數列. 無窮數列：項數無限的數列. 遞增數列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數列. 數列分類 遞減數列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數列. 常數列：各項相等的數列. 擺動數列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列.二、等差數列：從第 2 項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個常數稱為等差數列 的公差.
an an 1 d , n 2且n Z ,或 an 1 an d , n 1且n Z an a1 n 1 d am n m d kn b a a1 an am 1、若等差數列 an 的首項是 a1 ,公差是 d ,則有 d n n 1 n m a a n n 1 1 d 等差中項：三個數a,G,b組成的等差數列，則稱G為a與b的等差中項 2G=a b 2n p q 2an a p aq 若{an }是等差數列，則 性質： m n p q am an a p aq 若{an }是等差數列，則am、am k、am 2 k、am 3k、 構成公差公差kd的等差數列 若{a }、{b }是等差數列, 則{ a + }、 { an + bn }是等差數列 n n n 2、等差數列的前 n 項和的公式： Sn 等差數列的前 n 項和的性質：
n a1 an n n 1 na1 d pn2 qn 2 2
S偶 S奇 nd * a S奇 若項數為2n n ,則S2 n n an an 1 , n S偶 an 1 (1) S奇 S偶 an * 若項數為2n 1 n
,則S n S奇 2 n 1 2n 1 an,S奇 nan S 偶 n 1 an, S偶 n 1
Sm,S2 m Sm ,S3m S2 m成等差數列 (2) S n { }是等差數列 n
若等差數列 {an } , {bn } 的前 n 項和為 Sn , Tn ,,則
an S 2 n 1 bn T2 n 1
(3)等差數列的求和最值問題：(二次函數的配方法；通項公式求臨界項法) ①若
ak 0 a1 0 ,則 S n 有最大值，當 n=k 時取到的最大值 k 滿足 d 0 ak 1 0 ak 0 a1 0 ,則 S n 有最小值，當 n=k 時取到的最大值 k 滿足 d 0 ak 1 0
�、谌�
三、等比數列：從第 2 項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個常數稱為等比數列 的公比. 1、通項公式及其性質
an a1q n 1 am q n m 若等比數列 an 的首項是 a1 ,公比是 q ,則 n 1 an n m an . q a , q am 1
a,G,b成等比數列，則稱G為a與b的等比中項 G 2 ab 2 2n p q an a p aq 性質：若 {an }是等比數列，則 m n p q am an a p aq k am、am k、am 2 k、am 3k、 成公比q 的等比數列2、前 n 項和及其性質
na1 q 1 , (q 1) . Sn a1 1 q n a a q a a q n a a 1 n 1 1 1 q n 1 Aq n A, q 1 1 q 1 q 1 q 1 q 1 q
Sn m Sn q n Sm Sn、S2 n Sn、S3n S2 n成等比數列 . 性質 S偶 若項數為2n,則 S q 奇 Sm,S2 m Sm ,S3m S2 m成等比數列四、(1) an 與 Sn 的關系： an
n 1 S1 ; (檢驗 a1 是否滿足 an Sn Sn 1 ) S S n 2 n 1 n
n(n 1) 1 2 3 n 2 n(n 1)(n 2) (2) 12 22 32 n 2 6 2 3 3 3 n (n 1) 2 3 1 2 3 n 4
五、一些方法 1、等差數列、等比數列的最大項、最小項；前 n 項和的最大值、最小值 2、求通向公式的常見方法 (1)觀察法；待定系數法(已知是等差數列或等比數列); (2) an an 1 f (n), 累加消元;
an f (n), 累乘消元。 an 1
(3 )
an 1 1 an 1 , (倒數構造等差: k ) ; an k an an 1 an an 1 an an 1 , (兩邊同除構造等差: 1 1 1) ; an an 1
(4) an kan 1 b, 化為 (an x) k (an 1 x) 構造等比
an qan 1 pn r(構造等比數列： , an xn y q an 1 x n 1 y )an qan 1 pn ,化為3、求前 n 項和的常見方法 公式法、倒序相加、錯位相減、列項相消、分組求和
an q an
1 q 1 ,分 是否等 1 討論。 n n 1 p p p p
來在學習第二章函數知識的基礎上，今天我們一起來學習第三章數列有關知識，首先我們 看一些例子. 1,2,3,4,…,50 1,2,22,23,…,263 ① ②
15,5,16,16,28 0,10,20,30,…,1000 1,0.84,0.842,0.843,…
�、� ④ ⑤
請同學們觀察上述例子，看它們有何共同特點？ 它們均是一列數，它們是有一定次序的. 引出數列及有關定義. 1.定義 (1)數列：按照一定次序排成的'一列數. 看來上述例子就為我們所學數列.那么一些數為何將其按照一定的次序排列，它有何實際意 義呢？也就是說和我們生活有何關系呢？ 如數列①,它就是我們班學生的學號由小到大排成的一列數. 數列②,是引言問題中各個格子里的麥粒數按放置的先后排成的一列數. 數列③,好像是我國體育健兒在五次奧運會中所獲金牌數排成的一列數. 數列④,可看作是在 1 km 長的路段上，從起點開始，每隔 10 m 種植一棵樹，由近及遠各 棵樹與起點的距離排成的一列數. 數列⑤,我們在化學課上學過一種放射性物質，它不斷地變化為其他物質，每經過 1 年，它 就只剩留原來的 84%, 若設這種物質最初的質量為 1, 則這種物質各年開始時的剩留量排成一列 數，則為：1,0.84,0.842,0.843,…. 諸如此類，還有很多，舉不勝舉，我們學習它，掌握它，也是為了使我們的生活更美好，下 面我們進一步討論，好嗎？ 現在，就上述例子，我們來看一下數列的基本知識. 比如，數列中的每一個數，我們以后把其稱為數列的項，各項依次叫做數列的第 1 項(或首 項),第 2 項，…,第 n 項，…. 那么，數列一般可表示為 a1,a2,a3,…,an,….其中數列的第 n 項用 an 來表示. 數列還可簡記作{an}.
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