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    初三數學一元二次方程知識點整合

    時間:2021-01-28 12:56:17 初中數學

    初三數學一元二次方程知識點整合

      同學們在考試中是不是經常遇見關于初三數學一元二次方程知識點的內容,重要性想必都不用和大家說了吧,這篇文章希望大家可以好好運用。

    初三數學一元二次方程知識點整合

      一、定義和特點

      1、一元二次方程:含有一個未知數,并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程。

      2、一元二次方程的一般形式:ax的平方+bx+c=0(a≠0),它的特征是:等式左邊加一個關于未知數x的二次多項式,等式右邊是零,其中ax的平方+叫做二次項,a叫做二次項系數;bx叫做一次項,b叫做一次項系數;c叫做常數項。

      二、方程起源

      古巴比倫留下的陶片顯示,在大約公元前2000年(2000 BC)古巴比倫的數學家就能解一元二次方程了。在大約西元前480年,中國人已經使用配方法求得了二次方程的正根,但是并沒有提出通用的求解方法。西元前300年左右,歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。

      7世紀印度的婆羅摩笈多(Brahmagupta)是第一位懂得用使用代數方程,它同時容許有正負數的根。

      11世紀阿拉伯的花拉子密獨立地發展了一套公式以求方程的正數解。亞伯拉罕·巴希亞(亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱)在他的著作Liber embadorum中,首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲。

      據說施里德哈勒是最早給出二次方程的普適解法的數學家之一。但這一點在他的時代存在著爭議。這個求解規則是(引自婆什迦羅第二):

      在方程的兩邊同時乘以二次項未知數的系數的四倍;

      在方程的兩邊同時加上一次項未知數的系數的平方;

      在方程的兩邊同時開二次方。

      三、性質

      方程的兩根與方程中各數有如下關系:x1+x2= -b/a,x1·x2=c/a(也稱韋達定理)

      方程兩根為x1,x2時,方程為:x^2+(x1+x2)X+x1x2=0(根據韋達定理逆推而得)

      b^2-4ac>0有2個不相等的實數根,b^2-4ac=0有兩個相等的實數根,b^2-4ac<0無實數根。

      四、一般解法

      一元二次方程的一般解法有以下幾種:

      配方法(可解部分一元二次方程)

      公式法(在初中階段可解全部一元二次方程,前提:△≥0)

      因式分解法(可解部分一元二次方程)

      直接開平方法(可解全部一元二次方程)

      詳情點擊:九年級數學一元二次方程的解法知識點

      五、小結及例題

      一般解一元二次方程,最常用的方法還是因式分解法,在應用因式分解法時,一般要先將方程寫成一般形式,同時應使二次項系數化為正數。

      直接開平方法是最基本的方法。

      公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程(有人稱之為萬能法),在使用公式法時,一定要把原方程化成一般形式,以便確定系數,而且在用公式前應先計算判別式的值,以便判斷方程是否有解。

      配方法是推導公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程。但是,配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用,是初中要求掌握的三種重要的數學方法之一,一定要掌握好。(三種重要的數學方法:換元法,配方法,待定系數法)。

      例5:用適當的方法解下列方程。(選學)

      (1)4(x+2)^2-9(x-3)^2=0;(2)x^2+2x-3=0;(3)4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0

      分析:

      (1)首先應觀察題目有無特點,不要盲目地先做乘法運算。觀察后發現,方程左邊可用平方差

      公式分解因式,化成兩個一次因式的乘積。

      (2)可用十字相乘法將方程左邊因式分解。

      (3)把方程變形為 4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后利用十字相乘法因式分解。

      (1)解:4(x+2)^2-9(x-3)^2=0

      [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0

      (5x-5)(-x+13)=0

      5x-5=0或-x+13=0

      ∴x1=1,x2=13

      (2)解: x^2+2x-3=0

      [x-(-3)](x-1)=0

      x-(-3)=0或x-1=0

      ∴x1=-3,x2=1

      (3)解:4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0

      4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0

      [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0

      2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0

      ∴x1=(m+2)/2,x2=(m+3)/2

      例6:求方程3(x+1)^2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)^2=0的二根。(選學)

      分析:此方程如果先做乘方,乘法,合并同類項化成一般形式后再做將會比較繁瑣,仔細觀察題目,我們發現如果把x+1和x-4分別看作一個整體,則方程左邊可用十字相乘法分解因式(實際上是運用換元的方法)

      解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0

      即 (5x-5)(2x-3)=0

      ∴5(x-1)(2x-3)=0

      ∴(x-1)(2x-3)=0

      ∴x-1=0或2x-3=0

      ∴x1=1,x2=3/2是原方程的'解。

      六、課后習題

      1. 某商場禮品柜臺元旦期間購進大量賀年卡,一種賀年卡平均每天可售出500張,每張盈利0.3元.為了盡快減少庫存,商場決定采取適當的降價措施,調查發現,如果這種賀年卡的售價每降低0.1元,那么商場平均每天可多售出100張,商場要想平均每天盈利120元,每張賀年卡應降價多少元?

      2. 小明將1000元存入銀行,定期一年,到期后他取出600元后,將剩下部分(包括利息)繼續存入銀行,定期還是一年,到期后全部取出,正好是550元,請問定期一年的利率是多少?

      3. 一個正方形的邊長增加2cm,它的面積增加了40cm2,求這個正方形原來的邊長?

      4. 用一塊長方形的鐵片,把它的四角各剪去一個邊長為4cm的小方塊,然后把四邊折起來,做成一個沒有蓋的盒子,已知鐵片的長是寬的2倍,做成盒子的容積是1 536cm3,求這塊鐵片的長和寬.

      5. 我校生物興趣小組的同學有一塊長18米、寬12米的矩形試驗園.為了便于同學們參觀,現要開辟一橫兩縱三條等寬的小路.要使種植面積為176平方米,小路應該多寬?

      6. 張大叔從市場上買回一塊矩形鐵皮,他將此矩形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為1米的正方形后,剩下的部分剛好能圍成一個容積為15m3的無蓋長方體箱子,且此長方體箱子的底面長比寬多2米,現已知購買這種鐵皮每平方米需20元錢,問張大叔購回這張矩形鐵皮共花了多少元錢?

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