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反三角函數的圖像知識點

時間：2022-10-12 22:40:57 初中數學

2017關于反三角函數的圖像知識點

　　導語:偉人之所以偉大，是因為他與別人共處逆境時，別人失去了信心，他卻下決心實現自己的目標。下面是小編為大家整理的，數學知識，更多相關信息請關注CNFLA學習網!

2017關于反三角函數的圖像知識點

　　六個三角函數值在每個象限的符號：

　　sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函數的圖像和性質：

　　.反三角函數：

　　arcsinx arccosx

　　arctanx arccotx

　　同角三角函數的基本關系倒數關系: tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 商的關系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方關系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=

　　sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α)

　　平常針對不同條件的常用的兩個公式 sin² α+cos² α=1 tan α *cot α=1一個特殊公式 (sina+sinθ)*(sina+sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ)

　　證明：(sina+sinθ)*(sina+sinθ)=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin(a+θ)*sin(a-θ)

　　銳角三角函數公式正弦： sin α=∠α的對邊/∠α 的斜邊余弦：cos α=∠α的鄰邊/∠α的斜邊正切：tan α=∠α的對邊/∠α的鄰邊余切：cot α=∠α的鄰邊/∠α的對邊二倍角公式正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦

　　1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 正切 tan2A=(2tanA)/(1-tan^2(A))

　　三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)

　　三倍角公式推導 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa

　　sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4)

　　=4cosa[cos²a-(√3/2)^2] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-

　　a)]sin[-90°+(60°+a)]

　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述兩式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

　　n倍角公式 sin(n a)=Rsina sin(a+π/n)……sin(a+(n-1)π/n)。其中R=2^(n-1) 證明：當sin(na)=0時，sina=sin(π/n)或=sin(2π/n)或=sin(3π/n)或=……或=sin【(n-1)π/n】

　　這說明sin(na)=0與{sina-sin(π/n)｝*{sina-sin(2π/n)｝*{sina-sin(3π/n)｝*……*{sina- sin【(n-1)π/n】=0是同解方程。

　　所以sin(na)與{sina-sin(π/n)｝*{sina-sin(2π/n)｝*{sina-sin(3π/n)｝*……*{sina- sin【(n-1)π/n】成正比。

　　而(sina+sinθ)*(sina+sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ)，

　　所以 {sina-sin(π/n)｝*{sina-sin(2π/n)｝*{sina-sin(3π/n)｝*……*{sina- sin【(n-1π/n】與sina sin(a+π/n)……sin(a+(n-1)π/n)成正比(系數與n有關，但與a無關，記為Rn)。

　　然后考慮sin(2n a)的系數為R2n=R2*(Rn)^2=Rn*(R2)^n.易證R2=2，所以Rn= 2^(n-1)

　　半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

　　和差化積 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A

　　+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

　　兩角和公式

　　cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ

　　積化和差 sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2

　　雙曲函數 sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a)

　　公式一：設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等： sin(2kπ+α)= sinα cos(2kπ+α)= cosα tan(2kπ+α)= tanα cot(2kπ+α)= cotα

　　公式二：設α為任意角，π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關系： sin(π+α)= -sinα cos(π+α)= -cosα tan(π+α)= tanα cot(π+α)= cotα 公式三：任意角α與 -α的三角函數值之間的關系： sin(-

　　α)= -sinα cos(-α)= cosα tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα

　　公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關系： sin(π-α)= sinα cos(π-α)= -cosα tan(π-α)= -tanα cot(π-α)= -cotα

　　公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關系： sin(2π-α)= -sinα cos(2π-α)= cosα tan(2π-α)= -tanα cot(2π-α)= -cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α與α的三角函數值之間的關系

　　： sin(π/2+α)= cosα cos(π/2+α)= -sinα tan(π/2+α)= -cotα cot(π/2+α)= -tanα sin(π/2-α)= cosα cos(π/2-α)= sinα tan(π/2-α)= cotα cot(π/2-α)= tanα sin(3π/2+α)= -cosα cos

　　(3π/2+α)= sinα tan(3π/2+α)= -cotα cot(3π/2+α)= -tanα sin(3π/2-α)= -cosα cos(3π/2-α)= -sinα tan(3π/2-α)= cotα cot(3π/2-α)= tanα (以上k∈Z) A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = √

　　{(A² +B² +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根號,包括{……}中的內容

　　誘導公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(

　　π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan(π/2+α)=-cotα tan(π/2-α)=cotα tan(π-α)=-tanα tan(π+α)=tanα 誘導公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限萬能公式

　　sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²] cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]

　　其它公式 (1) (sinα)²+(cosα)²=1 (2)1+(tanα)²=(secα)²

　　(3)1+(cotα)²=(cscα)² 證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sinα)²，第二個除(cosα)²即可 (4)對于任意非直角三角形,總有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 證: A+B=π-C tan(A+B)=tan(π-C)

　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得證同樣可以得證,當x+y+z=nπ(n∈Z)時,該關系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結論 (5)cotAcotB+cotAcotC

　　+cotBcotC=1

　　(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA)²+(cosB)²+(cosC)²=1-2cosAcosBcosC (8)(sinA)²+(sinB)²+(sinC)²=2+2cosAcosBcosC 其他非重點三角函數 csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a)

　　編輯本段內容

　　規律三角函數看似很多，很復雜，但只要掌握了三角函數的本質及內部規律就會發現三角函數各個公式之間有強大的聯系。而掌握三角函數的內部規律及本質也是學好三角函數的關鍵所在. 1、三角函數本質： [1] 根據右圖，有 sinθ=y/

　　r; cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y。深刻理解了這一點，下面所有的三角公式都可以從這里出發推導出來，比如以推導 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 為例：推導：首先畫單位圓交X軸于C，D，在單位圓上有任意A，B點。角AOD為

　　α，BOD為β，旋轉AOB使OB與OD重合，形成新A'OD。 A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))

　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 和差化積及積化和差用還原法結合上面公式可推出(換(a+b)/2與(a-b)/2) 單位圓定義單位圓六個三角函數也可以依據半徑為一中心為

　　原點的單位圓來定義。單位圓定義在實際計算上沒有大的價值;實際上對多數角它都依賴于直角三角形。但是單位圓定義的確允許三角函數對所有正數和負數輻角都有定義，而不只是對于在 0 和 π/2 弧度之間的角。它也提供了一個圖象

　　，把所有重要的三角函數都包含了。根據勾股定理，單位圓的等式是：圖象中給出了用弧度度量的一些常見的角。逆時針方向的度量是正角，而順時針的度量是負角。設一個過原點的線，同 x 軸正半部分得到一個角 θ，并與單位圓相交

　　。這個交點的 x 和 y 坐標分別等于 cos θ 和 sin θ。圖象中的三角形確保了這個公式;半徑等于斜邊且長度為1，所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1。單位圓可以被視為是通過改變鄰邊和對邊的長度，但保持斜邊等于 1的一種查

　　看無限個三角形的方式。兩角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =

　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

　　三角函數公式

　　兩角和公式

　　sin(a+b)=sinacosb+cosasinb sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa ? cos(a+b)=cosacosb-sinasinb cos(a-b)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb) tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb) cot(a+b)=(cotacotb-1)/(cotb

　　+cota) ? cot(a-b)=(cotacotb+1)/(cotb-cota) 倍角公式

　　tan2a=2tana/[1-(tana)^2]

　　cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 sin2a=2sina*cosa

　　半角公式

　　sin(a/2)=√((1-cosa)/2) sin(a/2)=-√((1-cosa)/2) cos(a/2)=√((1+cosa)/2) cos(a/2)=-√((1+cosa)/2)

　　tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa)) tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa)) cot(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa)) cot(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa)) ? tan(a/2)=(1-cosa)/sina=sina/(1+cosa) 和差化積

　　2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b) 2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b) ) 2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b) -2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b) sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2 cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) tana+tanb=sin(a

　　+b)/cosacosb 積化和差公式

　　sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]

　　sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

　　誘導公式

　　sin(-a)=-sin(a)

　　cos(-a)=cos(a)

　　sin(pi/2-a)=cos(a)

　　cos(pi/2-a)=sin(a)

　　sin(pi/2+a)=cos(a)

　　cos(pi/2+a)=-sin(a)

　　sin(pi-a)=sin(a)

　　cos(pi-a)=-cos(a)