2016高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽常用定理整理
導(dǎo)語：全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，在這項(xiàng)競(jìng)賽中取得優(yōu)異成績(jī)的全國約200名學(xué)生有資格參加由中國數(shù)學(xué)會(huì)主辦的中國數(shù)學(xué)奧林匹克，在CMO中成績(jī)優(yōu)異的60名左右的學(xué)生可以進(jìn)入國家集訓(xùn)隊(duì)。經(jīng)過集訓(xùn)隊(duì)的選拔，將有6名表現(xiàn)最頂尖的選手進(jìn)入中國國家代表隊(duì)，參加國際數(shù)學(xué)奧林匹克!歡迎閱讀，僅供參考，更多相關(guān)的知識(shí)，請(qǐng)關(guān)注CNFLA學(xué)習(xí)網(wǎng)的欄目!
高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽常用定理
常用定理 1、費(fèi)馬點(diǎn) (I)基本概念
定義：在一個(gè)三角形中，到3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。
(1)若三角形ABC的3個(gè)內(nèi)角均小于120°，那么3條距離連線正好平分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角。所以三角形的費(fèi)馬點(diǎn)也稱為三角形的等角中心。
(2)若三角形有一內(nèi)角不小于120度，則此鈍角的頂點(diǎn)就是距離和最小的點(diǎn)。 (II)證明
我們要如何證明費(fèi)馬點(diǎn)呢：
費(fèi)馬點(diǎn)證明圖形
(1)費(fèi)馬點(diǎn)對(duì)邊的張角為120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1, △CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B 同理可得∠CBP=∠CA1P
由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度 同理,∠APB=120度，∠APC=120度 (2)PA+PB+PC=AA1
將△BPC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)60度與△BDA1重合，連結(jié)PD，則△PDB為等邊三角形，所以∠BPD=60度 又∠BPA=120度，因此A、P、D三點(diǎn)在同一直線上，
又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四點(diǎn)在同一直線上，故PA+PB+PC=AA1。 (3)PA+PB+PC最短
在△ABC內(nèi)任意取一點(diǎn)M(不與點(diǎn)P重合)，連結(jié)AM、BM、CM，將△BMC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)60度與△BGA1重合，連結(jié)AM、GM、A1G(同上)，則AA1
平面四邊形中費(fèi)馬點(diǎn)證明相對(duì)于三角型中較為簡(jiǎn)易，也較容易研究。 (1)在凸四邊形ABCD中，費(fèi)馬點(diǎn)為兩對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)P。
費(fèi)馬點(diǎn)
(2)在凹四邊形ABCD中，費(fèi)馬點(diǎn)為凹頂點(diǎn)D(P)。 經(jīng)過上述的推導(dǎo)，我們即得出了三角形中費(fèi)馬點(diǎn)的找法：
當(dāng)三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于一百二十度的時(shí)候，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn);如果三個(gè)內(nèi)角都在120度以內(nèi)，那么，費(fèi)馬點(diǎn)就是使得費(fèi)馬點(diǎn)與三角形三頂點(diǎn)的連線兩兩夾角為120度的點(diǎn)。 (III)費(fèi)馬點(diǎn)性質(zhì)：
費(fèi)馬點(diǎn)
(1)平面內(nèi)一點(diǎn)P到△ABC三頂點(diǎn)的之和為PA+PB+PC，當(dāng)點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)，距離之和最小。 特殊三角形中：
(2).三內(nèi)角皆小于120°的三角形，分別以 AB,BC,CA，為邊，向三角形外側(cè)做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后連接AA1,BB1,CC1,則三線交于一點(diǎn)P,則點(diǎn)P就是所求的費(fèi)馬點(diǎn).
(3).若三角形有一內(nèi)角大于或等于120度,則此鈍角的頂點(diǎn)就是所求. (4)當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí),此時(shí)外心與費(fèi)馬點(diǎn)重合
二、梅涅勞斯定理和塞瓦定理 1、梅涅勞斯定理
梅涅勞斯定理證明
梅涅勞斯(Menelaus)定理(簡(jiǎn)稱梅氏定理)是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊
AF
AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于F、D、E點(diǎn)，那么證明：做平行線即可，過程略 2、角元形式：
(1)第一角元形式的梅涅勞斯定理
FB
BCCD
DOOA
1
如圖：若E，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，則
(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1 即圖中的藍(lán)角正弦值之積等于紅角正弦值之積 該形式的梅涅勞斯定理也很實(shí)用 (2)第二角元形式的梅涅勞斯定理
在平面上任取一點(diǎn)O，且EDF共線，則(sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不與點(diǎn)A、B、C重合) 三、塞瓦定理 塞瓦定理
在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，
直線AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，則 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 證法簡(jiǎn)介 (Ⅰ)本題可利用梅涅勞斯定理證明： ∵△ADC被直線BOE所截， ∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①
而由△ABD被直線COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1② ②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 (Ⅱ)也可以利用面積關(guān)系證明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 塞瓦定理推論
1.設(shè)E是△ABD內(nèi)任意一點(diǎn)，AE、BE、DE分別交對(duì)邊于C、G、F，則(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1
因?yàn)?BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，(塞瓦定理)所以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K(K為未知參數(shù))且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K(K為未知參數(shù))又由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 2.塞瓦定理角元形式
AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是：
(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1 由正弦定理及三角形面積公式易證
3.如圖，對(duì)于圓周上順次6點(diǎn)A,B,C,D,E,F，直線AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是： (AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1
由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長(zhǎng)與所對(duì)圓周角關(guān)系易證。 4.還能利用塞瓦定理證三角形三條高交于一點(diǎn)
設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定 理，因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。
四、西姆松定理
西姆松定理圖示
西姆松定理是一個(gè)幾何定理。表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線。(此線常稱為西姆松線)。西姆松定理的逆定理為：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。 西姆松定理說明 相關(guān)的結(jié)果有：
(1)稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點(diǎn)為線段PH的中點(diǎn)，且這點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。 (2)兩點(diǎn)的西姆松線的交角等于該兩點(diǎn)的圓周角。
(3)若兩個(gè)三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點(diǎn)P對(duì)應(yīng)兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關(guān)。 (4)從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。 證明
證明一： △ABC外接圓上有點(diǎn)P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分別連DE、DF.
易證P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，于是∠FDP=∠ACP ①，(∵都是∠ABP的補(bǔ)角) 且∠PDE=∠PCE
② 而∠ACP+∠PCE=180° ③ ∴∠FDP+∠PDE=180°
④ 即F、D、E共線. 反之，當(dāng)F、D、E共線時(shí)，由④→②→③→①可見A、B、P、C共圓.
證明二： 如圖，若L、M、N三點(diǎn)共線，連結(jié)BP，CP，則因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和
M、P、L、C分別四點(diǎn)共圓，有
∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM. 故A、B、P、C四點(diǎn)共圓。
若A、B、P、C四點(diǎn)共圓，則∠PBN = ∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四點(diǎn)共圓，有
∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 故L、M、N三點(diǎn)共線。 相關(guān)性質(zhì)的證明
連AH延長(zhǎng)線交圓于G, 連PG交西姆松線與R,BC于Q 如圖連其他相關(guān)線段
AH⊥BC,PF⊥BC==>AG//PF==>∠1=∠2
A.G.C.P共圓==>∠2=∠3
PE⊥AC,PF⊥BC==>P.E.F.C共圓==>∠3=∠4 ==>∠1=∠4 PF⊥BC ==>PR=RQ
BH⊥AC,AH⊥BC==>∠5=∠6 A.B.G.C共圓==>∠6=∠7 ==>∠5=∠7
AG⊥BC==>BC垂直平分GH ==>∠8=∠2=∠4
∠8+∠9=90,∠10+∠4=90==>∠9=∠10 ==>HQ//DF ==>PM=MH
第二個(gè)問，平分點(diǎn)在九點(diǎn)圓上，如圖：設(shè)O,G,H 分別為三角形ABC的外心，重心和垂心。 則O是,確定九點(diǎn)圓的中點(diǎn)三角形XYZ的垂心，而G還是它的重心。 那么三角形XYZ的外心 O1， 也在同一直線上，并且 HG/GO=GO/GO1=2，所以O(shè)1是OH的中點(diǎn)。
三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它們的外接圓也位似。兩個(gè)圓的圓心都在OH上，并且兩圓半徑比為1:2
所以G是三角形ABC外接圓和三角形XYZ外接圓(九點(diǎn)圓)的
所以H到三角形ABC的外接圓上的連線中點(diǎn)必在三角形DEF的外接圓上.... 五、托勒密定理
1、定理的內(nèi)容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積。 原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于 一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和。 從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì). 證明
一、(以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。)
在任意四邊形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD 因?yàn)椤鰽BE∽△ACD
所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE 所以△ABC∽△AED相似.
BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因?yàn)锽E+ED≥BD
(僅在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，等號(hào)成立，即“托勒密定理”) 所以命題得證 復(fù)數(shù)證明
用a、b、c、d分別表示四邊形頂點(diǎn)A、B、C、D的復(fù)數(shù)，則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長(zhǎng)度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到復(fù)數(shù)恒等式： (a − b)(c − d) + (a − d)(b − c) = (a − c)(b − d) ，兩邊取模，運(yùn)用三角不等式得。 等號(hào)成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。 四點(diǎn)不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、
設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形。 在弦BC上，圓周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一點(diǎn)K，使得∠ABK = ∠CBD; 因?yàn)?ang;ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK與△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD; 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA; 兩式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA; 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。證畢。 三、
托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積(兩對(duì)角線所包矩形的面積)等于兩組對(duì)邊乘積之和(一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和).已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD，求證：AC·BD=AB·CD+AD·BC.
證明：如圖1，過C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP.得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP.得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC.即AC·BD=AB·CD+AD·BC.
推論
1.任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。
2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個(gè)凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，則這個(gè)凸四邊形內(nèi)接于一圓、 推廣
托勒密不等式：四邊形的任兩組對(duì)邊乘積不小于另外一組對(duì)邊的乘積，取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)共圓或共線。 簡(jiǎn)單的證明：復(fù)數(shù)恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模， 得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 注意：
1.等號(hào)成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。 2.四點(diǎn)不限于同一平面。
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