平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律數(shù)學(xué)教案
一、教學(xué)目標(biāo)
1．掌握平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律，并能運(yùn)用運(yùn)算律解決有關(guān)問(wèn)題；
2．掌握向量垂直的充要條件，根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積為零證明兩個(gè)向量垂直；由兩個(gè)向量垂直確定參數(shù)的值；
3．了解用平面向量數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題；
4．通過(guò)平面向量的數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律猜想與證明，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度以及實(shí)際動(dòng)手能力；
5．通過(guò)平面向量的數(shù)量積的概念，幾何意義，性質(zhì)及運(yùn)算律的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)．
二、教學(xué)重點(diǎn) 平面向量的數(shù)量積運(yùn)算律，向量垂直的條件；
教學(xué)難點(diǎn) 平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律，以及平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用。
三、教學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀
四、教學(xué)過(guò)程
1．設(shè)置情境
上節(jié)課，我們已經(jīng)給出了數(shù)量積的定義，指出了它的（5）條屬性，本節(jié)課將研究數(shù)量積作為一種運(yùn)算，它還滿(mǎn)足哪些運(yùn)算律？
2．探索研究
（1）師：什么叫做兩個(gè)向量的數(shù)量積？
生： （ 與 向量的數(shù)量積等式 的模 與 在 的方向上的投影 的乘積）
師：向量的數(shù)量積有哪些性質(zhì)？
生：有...
師：向量的數(shù)量積滿(mǎn)足哪些運(yùn)算律？
生（由學(xué)生驗(yàn)證得出）
交換律：
分配律：
師：這個(gè)式子 成立嗎？（由學(xué)生自己驗(yàn)證）
生： ，因?yàn)?表示一個(gè)與 共線的向量，而 表示一個(gè)與 共線的向量，而 與 一般并不共線，所以，向量的內(nèi)積不存在結(jié)合律。
（2）例題分析
【例1】求證：
（1）
（2）
分析：本例與多項(xiàng)式乘法形式完全一樣。
證：
注： （其中 、 為向量）
答：一般不成立。
【例2】已知 ， ， 與 的夾角為 ，求 。
解：∵
注：與多項(xiàng)式求值一樣，先化簡(jiǎn)，再代入求值。
【例3】已知 ， 且 與 不共線，當(dāng)且僅當(dāng) 為何值時(shí)，向量 與 互相垂直．
分析：師：兩個(gè)向量垂直的充要條件是什么？
生：
解： 與 互相垂直的充要條件是
即
∵
∴
∴
∴ 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， 與 互相垂直．
3．演練反饋（投影）
（1）已知 ， 為非零向量， 與 互相垂直， 與 互相垂直，求 與 的夾角．
（2） ， 為非零向量，當(dāng) 的模取最小值時(shí)，
①求 的值；
②求證： 與 垂直．
（3）證明：直徑所對(duì)的圓周角為直角．
參考答案：
（1）
（2）解答：①由
當(dāng) 時(shí) 最小；
②∵
∴ 與 垂直。
（3）如圖所示，設(shè) ， ， （其中 為圓心， 為直徑， 為圓周上任一點(diǎn)）
則
∵ ，
∴ 即 圓周角
4．總結(jié)提煉
（1）向量運(yùn)算不能照搬實(shí)數(shù)運(yùn)算律，如結(jié)合律數(shù)量積運(yùn)算就不成立．
（2）要學(xué)會(huì)把幾何元素向量化，這是用向量法證幾何問(wèn)題的先決條件．
（3）對(duì)向量式不能隨便約分，因?yàn)闆](méi)有這條運(yùn)算律．
五、板書(shū)設(shè)計(jì)
課題：
1．?dāng)?shù)量積性質(zhì)
2．?dāng)?shù)量積運(yùn)算律
演練反饋
總結(jié)提煉
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