不等式的性質(zhì)高三數(shù)學(xué)教案
教學(xué)分析
本節(jié)將在初中學(xué)習(xí)的不等式的三條基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)歸納整理不等式的其他性質(zhì)， 這是進一步學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)．要求學(xué)生掌握不等式的基本性質(zhì)與推論，并能用這些基本性質(zhì)證明簡單不等式，進而更深層地從理 性角度建立不等觀念．對不等式的基本性質(zhì)，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點與等式的基本性質(zhì)作類比、歸納邏輯分析，并鼓勵學(xué)生從理性角度去分析量與量之間的比較過程．
基本性質(zhì)2、3、4在初中是由實例驗證，在高中里要進行邏輯證明．教學(xué)中教師一定要認識到對學(xué)生進行邏輯訓(xùn)練的必要性，注意啟發(fā)學(xué)生要求證明的欲望．
在中學(xué)數(shù)學(xué)中，不等式的地位不僅特殊，而且重要，它與中學(xué)數(shù)學(xué)幾乎所有章節(jié)都有聯(lián)系，因此，不等式才自然而然地成為高考中經(jīng)久不衰的熱點、重點，有時也是難點．為此，在進行本節(jié)教學(xué)時，教材中基本性質(zhì)的推論可由學(xué)生自己證明，課后的練習(xí)A、B要求學(xué)生全做．
三維目標(biāo)
1．通過對初中三條基本性質(zhì)的回憶，以及上節(jié)學(xué)習(xí)的知識，證明不等式的基本性質(zhì)和推論．
2．在了解不等式的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，利用它們來證明一些簡單的不等式．
3．通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生頑強的探究精神和嚴肅認真的科學(xué)態(tài)度．體會數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美和系統(tǒng)美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更大的熱情．
重點難點
教學(xué)重點：理解并證明不等式的基本性質(zhì)與推論，并能用基本性質(zhì)證明一些簡單的不等式．
教學(xué)難點：不等式基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用．
課時安排
1課時
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)讓學(xué)生回憶并敘述初中所學(xué)的不等式的三條基本性質(zhì)，即不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)，不等號的方向不變；不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不 等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變．讓學(xué)生根據(jù)上一節(jié)的學(xué)習(xí)將上面的文字語 言用不等式表示出來，并進一步探究，由此而展開新課．
思路2.(類比導(dǎo)入)等式具有許多性質(zhì)，其中有：在等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以(除數(shù)不為零)同一個數(shù)，所得的仍是等式．我們自然會聯(lián)想到，不等式是否也會有此同樣的性質(zhì)呢？學(xué)生會進一步探究驗證這個聯(lián)想，由此而展開新課．
推進新課
新知探究
提出問題
1怎樣比較兩個實數(shù)或代數(shù)式的大小？2初中都學(xué)過不等式的哪些基本性質(zhì)？你能給出證明嗎？3不等式有哪些基本性質(zhì)和推論？這些性質(zhì)有哪些作用？
活動：教師引導(dǎo)學(xué)生一起回憶等式的性質(zhì)：等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以(除數(shù)不為零)同一個數(shù)，所得到的仍是等式．利用這些性質(zhì)，我們可以對等式進行化簡、變形或證明．那么不等式會不會也有類似的性質(zhì)呢？也就是說，如果在不等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以(除數(shù)不為零)同一個數(shù)，結(jié)果會不會不變呢？為此教師引導(dǎo)學(xué)生回憶上節(jié)課學(xué)過的實數(shù)的基本性質(zhì)(或用多媒體展示)，即a－b＞0a＞b；a－b＜0a＜b；a－b＝0a＝b.
根據(jù)實數(shù)的基本性質(zhì)，要比較兩個實數(shù)的大小，可以考察這兩個實數(shù)的差．這是我們研究不等關(guān)系的一個出發(fā)點．
從實數(shù)的基本性質(zhì)，我們可以證明下列常用的不等式性質(zhì)：
性質(zhì)1，如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b，即a＞bb＜a.這種性質(zhì)稱為不等式的對稱性．
性質(zhì)2，如果a＞b，b＞c，那么a＞c，即a＞b，b＞ca＞c.這種性質(zhì)稱為不 等式的傳遞性．
性質(zhì)3，如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，
即不等式的兩邊都加上同一個實數(shù)，所得不等式與原不等式同向．
由此得到推論1，不等式中的任意一項都可以把它的符號變成相反的符號后，從不等式的一邊移到另一邊．這個推論稱為不等式的移項法則．
推論2，如果a＞b，c＞d，則a＋c＞b＋d.
這類不等號方向相同的不等式，叫做同向不等式，同向不等式可以相加，這個推論可以推廣為更一般的結(jié)論 ．
性質(zhì)4，如果a＞b，c＞0，則ac＞bc；如果a＞b，c＜0，則ac＜bc.
推論1，如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.
推論2，如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N＋，n＞1)．
推論3，如果a＞b＞0，那么na＞nb(n∈N＋，n＞1)．
以上這些不等式的性質(zhì)是解決不等式問題的基本依據(jù)．其中性質(zhì)1是不等式的對稱性；性質(zhì)2是不等式的傳遞性；性質(zhì)3表明不等式的兩邊都加上同一個實數(shù)，所得不等式與原不等式同向，由此可得不等式中任何一項可以改變符號后移到不等號的另一邊；性質(zhì)4表明，不等式兩邊允許用非零數(shù)(或式)去乘，相乘后的不等式的方向取決于乘式的符號，這點與等式的性質(zhì)不同；性質(zhì)4的推論1說明兩邊都是正數(shù)的同向不等式可以相乘；性質(zhì)4的推論2說明兩邊都是正數(shù)的不等式可以乘方；性質(zhì)4的推論3說明兩邊都是正數(shù)的不等式可以開方．
對以上性質(zhì)的邏輯證明，教師可與學(xué)生一起完成.5個推論可由學(xué)生自己完成，教師給予適當(dāng)點撥．這是訓(xùn)練學(xué)生邏輯推理能力的極佳機會，不可錯過．
討論結(jié)果：
(1)(2)略．
(3)4條性質(zhì)，5個推論．
應(yīng)用示例
例1(教材本節(jié)例題)
活動： 本節(jié)教材上共安排了這一個例題，含3個小題，都是不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用，教師不可忽視本例的`訓(xùn)練，過高估計了學(xué)生邏輯推理的書寫能力．實踐證明，學(xué)生往往推理不嚴密．教學(xué)時應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)不等式的性質(zhì)的條件和結(jié)論，強調(diào)推理要有理有據(jù)，嚴謹細致，條理清晰．
點評：應(yīng)用不等式性質(zhì)對已知不等式進行變形，從而得出要證的不等式，是證明不等式的常用方法之一.
變式訓(xùn)練
已知a＞b＞0，c＜0，求證： ca＞cb.
證明：∵a＞b＞0，∴ab＞0，1ab＞0.
于是a1ab＞b1ab，即1b＞1a.
由c＜0，得ca＞cb.
例2已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范圍．
活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶本題的背景，這類問題是學(xué)習(xí)三角函數(shù)內(nèi)容時經(jīng)常遇到的，由于當(dāng)時所學(xué)知識所限，往往容易出錯．這里我們在已知的基礎(chǔ)上，運用不等式的基本性質(zhì)得出所要得到的結(jié)果．
解：∵－π2≤α＜β≤π2，
∴－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4.
上面兩式相加，得－π2＜α＋β2＜π2.
∵－π4＜β2≤π4，
∴－π4≤－β2＜π4.
∴－π2≤α－β2＜π2.
又知α＜ β，∴α－β2＜0.
故－π2≤α－β2＜0.
點評：在三角函數(shù)化簡求值中，角的范圍的確定往往成為正確解題的關(guān)鍵.
變式訓(xùn)練
已知函數(shù)f(x)＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( )
A．一定大于0 B．一定小于0
C．等于0 D．正負都有可能
答案：B
解析：由題意知f(x)是奇函數(shù)，且在R上為單調(diào)增函數(shù)，
所以f(－x2)＝－f(x2 )，f(－x3)＝－f(x3)，f(－x1)＝－f(x1)，
且x1＜－x2，x2＜－x3，x3＜－x1.
所以f(x1)＜－f(x2)，f(x2)＜－f(x3)，f(x3)＜－f(x1)．
由不等式的性質(zhì)3推論2知
f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜－f(x1)－f(x2)－f(x3)．
因此，f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0.
3已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求證：ea－c＞eb－d.
活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察結(jié)論，由于e＜0，因此即證1a－c＜1b－d，引導(dǎo)學(xué)生作差，利用本節(jié)所學(xué)的不等式基本性質(zhì)．
證明：c＜d＜0－c>－d>0a>b>0 a－c＞b－d＞0 1a－c<1b－de<0 ea－c＞eb－d.
點評：本例是靈活運用不等式的性質(zhì)．證明時一定要推理有據(jù)，思路條理清晰.
變式訓(xùn)練
若1a＜1b＜0，則下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b中，正確的不等式有( )
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
答案：B
解析：由1a＜1b＜0得b＜a＜0，ab＞0，則①正確，②錯誤，③錯誤.
知能訓(xùn)練
1．若a、b、c∈R，a＞b，則下列不等式成立的是( )
A.1a＜1b B．a(chǎn)2＞b2[來源:學(xué)+科+網(wǎng)]
C.ac2＋1＞bc2＋1 D．a(chǎn)|c|＞b|c|
2．若a＞b＞0，則下列不等式中總成立的是( )
A.ba＞b＋1a＋1 B．a(chǎn)＋1a＞b＋1b
C．a(chǎn)＋1b＞b＋1a D.2a＋ba＋2b＞ab
3．有以下四個條件：
①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0.
其中能使1a＜1b成立的有__________個條件．
答案：
1．C 解法一：∵a＞b，c2＋1＞0，∴ac2＋1＞bc2＋1.
解法二：令a＝1，b＝－2，c＝0，代入A、B、C、D中，可知A、B、D均錯．
2．C 解法一：由a＞b＞0 0＜1a＜1b a＋1b＞b＋1a.
解法二：令a＝2，b＝1，排除A、D，再令a＝12，b＝13，排除B.
3．3 解析：①∵b＞0，∴1b＞0.∵a＜0，∴1a＜0.∴1a＜1b.
②∵b＜a＜0，∴1b＞1a.
③∵a＞0＞b，∴1a＞0，1b＜0.∴1a＞1b.
④∵a＞b＞0，∴1a＜1b.
課堂小結(jié)
1．教師與學(xué)生共同完成本節(jié)的小結(jié)．從實數(shù)的基本性質(zhì)與三條基本性質(zhì)的回顧，到所有性質(zhì)的推得，推論的證明，以及例題的探究、變式訓(xùn)練等．真正溫故知新，將本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容納入已有的知識體系．
2．教師進一步強調(diào)代數(shù)邏輯推理的方法要領(lǐng)，指出利用不等式的性質(zhì)時容易忽略的地方，以及證明不等式時需要注意的問題．
作業(yè)
習(xí)題3—1A組4、5；習(xí)題3—1B組4.
設(shè)計感想
1．本節(jié)設(shè)計更加關(guān)注學(xué)生的發(fā)展．通 過具體問題的解決，讓學(xué)生去感受、體驗，并從理性的角度去思考，鼓勵學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點進行類比、歸納、抽象，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好的思維習(xí)慣．
2．本節(jié)設(shè)計注重學(xué)生的探究活動．學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，通過對問題的探究思考、體驗認識、廣泛參與，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)乃季S習(xí)慣和積極主動的學(xué)習(xí)品質(zhì)，從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量．
3．本節(jié)設(shè)計注重了學(xué)生個性品質(zhì)的發(fā)展．通過對富有挑戰(zhàn)性問題的解決，激發(fā)學(xué)生頑強的探索精神和嚴肅認真的科學(xué)態(tài)度，同時去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，體會數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美、數(shù)學(xué)推理的嚴謹美，從而激發(fā)學(xué)生強烈的探究興趣．
備課資料
備用習(xí)題
1．如果a、b、c、d是任意實數(shù)，則( )
A．a(chǎn)＞b，c＝d ac＞bd B.ac＞bc a＞b
C．a(chǎn)3＞b3，ab＞0 1a＜1b D．a(chǎn)2＞b2，ab＞0 1a＜1b
2．已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小關(guān)系是( )
A．a(chǎn)＞b＞－b＞－a B．a(chǎn)＞－b＞－a＞b
C．a(chǎn)＞－b＞b＞－a D．a(chǎn)＞b＞－a＞－b
3．已知－1＜ a＜b＜0，則下面不等式中正確的是( )
A.1a＜1b＜b2＜a2 B.1a＜1b＜a2＜b2
C.1b＜1a＜a2＜b2 D.1b＜1a＜b2＜a2
4．設(shè)a、b∈R，若a－|b|＞0，則下列不等式中正確的是( )
A．b－a＞0 B．a(chǎn)3＋b3＜0
C．a(chǎn)2－b2＜0 D．b＋a＞0
5．若α、β滿足－π2＜α＜β＜π2， 則α－β的取值范圍是( )
A．－π＜α－β＜π B．－π＜α－β＜0
C．－π2＜α－β＜π2 D．－π2＜α－β＜0
6．已知60＜x＜84,28＜y＜33，則x－y的取值范圍為__________，xy的取值范圍為__________．
7．已知a＜b，c＞d，求證：c－a＞d－b.
8．已知x＞y＞z＞0，求證：yx－y＞zx－z.
參考答案：
1．C A項中，當(dāng)c、d為負數(shù)時，ac＜bd，A錯；B項中，當(dāng)c為負數(shù)時，a＜b，B錯；C項中，a3＞b3，得出a＞b，又由ab＞0可得1a＜1b，C項正確；D項中，若a、b均為負數(shù)時，由a2＞b2得出a＜b，由ab＞0得出1a＞1b，D錯．
2．C 由a＋b＞0，b＜0可知a＞0，b＜0，故a，－b為正，－a，b為負，又由a＋b＞0知a＞－b，b＞－a，所以a＞－b＞b＞－a.
3．D 由－1＜a＜b＜0知ab＞0，所以1b＜1a＜0，a2＞b2＞0，故1b＜1a＜b2＜a2.
4．D 利用賦值法：不妨令a＝1，b＝0，則排除A，B，C.
5．B 由α＜β知α－β＜0，又由α＞－π2，β＜π2，故α－β＞(－π2)－π2＝－π，
即－π＜α－β＜0.
6．(27,56) (2011，3) ∵28＜y＜33，∴－33＜－y＜－28.
又60＜x＜84，∴27＜x－y＜56，yx∈(2884，3360)．
∴xy∈(6033，8428)，
即2011＜xy＜3.
7．證明：∵a＜b，∴－a＞－b.
又∵c＞d，∴c＋(－a)＞d＋(－b)，即c－a＞d－b.
8．證明：∵x＞y，∴x－y＞0.∴1x－y＞0.
又y＞z＞0，∴yx－y＞zx－y.①
∵y＞z，∴－y＜－z.∴x－y＜x－z.
∴0＜x－y＜x－z.∴1x－y＞1x－z.
又z＞0，∴zx－y＞zx－z.②
由①②得yx－y＞zx－z.
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