高老總復習數學教案
高老總復習數學教案
推理與證明
【學法導航】
了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數學發現中的作用;體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理;了解合情推理和演繹推理之間的聯系和差異。了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程、特點;了解間接證明的一種基本方法--反證法;了解反證法的思考過程、特點。
解答推理問題時，先明確出是哪種推理形式，顯然歸納、演繹等推理方式在以往的學習中已經接觸過，類比推理相對而言學生比較為陌生. 所以復習類比推理時應抓住兩點：一是找出合理的類比對象，二是找出類比對象，再進一步找出兩類事物間的相似性或一致性.
解答證明題時，要注意是采用直接證明還是間接證明。在解決直接證明題時，綜合法和分析法往往可以結合起來使用。綜合法的使用是“由因索果”，分析法證明問題是“執果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法，分析法便于尋找解題思路，而綜合法便于敘述，因此使用時往往聯合使用。分析法要注意敘述的形式：要證A，只要證明B，B應是A成立的充分條件。
復習反證法時，注意：一是“否定結論”部分，把握住結論的“反”是什么? 二是“導出矛盾”部分，矛盾有時是與已知條件矛盾，有時是與假設矛盾，而有時又是與某定義、定理、公理或事實矛盾，因此要弄明白究竟是與什么矛盾.
對于 些難于從正面入手的數學證明問題，解題時可從問題的反面入手，探求已知與未知的關系，從而將問題得以解決。因此當遇到“否定性”、“唯一性”、“無限性”、“至多”、“至少”等類型命題時，宜選用反證法。
【專題綜合】
推理是數學的基本思維過程,高中數學課程的重要目標就是培養和提高學生的推理能力,因此本部分內容在高中數學中占有重要地位,是高考的重要內容.由于解答高考試題的過程就是推理的過程,因此本部分內容的考查將會滲透到每一個高考題中.在復習時,應注意理解常用的推理的方法,了解其含義,掌握其過程以解決具體問題.因此2007年、2008年山東卷、廣東卷、海南、寧夏卷沒有單獨考查此內容也在情理之中。2009年的高考題中只有江蘇卷、福建卷、浙江卷的高考試題中出現了合情推理與演繹推理的試題。但是，今后的高考中考查推理內容,最有可能把推理滲透到解答題中考查，因為解答與證明題本身就是一種 合情推理與演繹推理作為一種推理工具是很容易被解答與證明題接受的.
1.與數列結合考察推理
例1(09浙江文)設等差數列 的前 項和為 ，則 ， ， ， 成等差數列.類比以上結論有：設等比數列 的前 項積為 ，則 ， ， ， 成等比數列.
答案.
【命題意圖】此題是一個數列與類比推理結合的問題，既考查了數列中等差數列和等比數列的知識，也考查了通過已知條件進行類比推理的方法和能力
【解析】對于等比數列，通過類比，有等比數列 的前 項積為 ，則 ， ， 成等比數列.
2.與解析幾何集合考察推理
例2(03年上海)已知橢圓具有性質：若 是橢圓上關于原點對稱的兩個點，點 是橢圓上的任意一點，當直線 的斜率都存在時，則 是與點 位置無關的定值，試對雙曲線 寫出具有類似特性的性質。
答案: .
3.與立體幾何結合考察推理
例3在 DEF中有余弦定理： . 拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱ABC- 的3個側面面積與其中兩個側面所成二面角之間的關系式，并予以證明.
分析 根據類比猜想得出 .
其中 為側面為 與 所成的二面角的平面角.
證明： 作斜三棱柱 的直截面DEF，則 為面 與面 所成角，在 中有余弦定理： ，
同乘以 ，得
即
【變式】類比正弦定理：如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，二面角B—AA1—C、C—BB1—A、B—CC1—A所成的二面角分別為 、 、 ，則有
證明：作平面DEF與三棱柱ABC-A1B1C1側棱垂直，分別交側棱AA1，BB1 ，CC1于點D，E，F，則 = ， ， ，
在 DEF中，根據正弦定理得 ，即
而 ，且 ，因此 .
例4(2007廣東理)如果一個凸多面體 棱錐，那么這個凸多面體的所有頂點所確定的直線共有 __ 條.這些直線中工有 對異面直線，則 = 12 ; = .(答案用數字或 的解析式表示)
4構造數表考察推理
例5(2007湖南理)將楊輝三角中的奇數換成1，偶數換成0，得到如圖1所示的0-1三角數表.從上往下數，第1次全行的數都為1的是第1行，第2次全行的數都為1的是第3行，…，第 次全行的數都為1的是第 行;第61行中1的個數是 32 .
第1行 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
…… ………………………………………
圖1
5.實際問題
例6(2007年廣東文10).圖3是某汽車維修公司的維修點環形分布圖公司在年初分配給A、 B、C、D四個維修點某種配件各50件.在使用前發現需將A、B、C、D四個維修點的這批配件分別調整為40、45、54、61件,但調整只能在相鄰維修點之間進行.那么要完成上述調整,最少的調動件次(n件配件從一個維修點調整到相鄰維修點的調動件次為n)為
A.18 B.17 C.16 D.15
【解析】很多同學根據題意發現n=16可行,判除A,B選項,但對于C,D選項則難以作出選擇,事實上,這是一道運籌問題,需要用函數的最值加以解決.設 的件數為 (規定:當 時,則B調整了 件給A,下同!), 的件數為 , 的件數為 , 的件數為 ,依題意可得 , , , ,從而 , , ,故調動件次 ,畫出圖像(或絕對值的幾何意義)可得最小值為16,故選(C).
【答案】:C
5.與其他章節知識結合考察證明
例7(2008年海南寧夏21)設函數 ，曲線 在點 處的切線方程為y=3.
(1)求 的解析式：
(2)證明：函數 的圖像是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心;
(3)證明：曲線 上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值.
解：(1) ，
于是 解得 或
因 ，故 .
(2)證明：已知函數 ， 都是奇函數.
所以函數 也是奇函數，其圖像是以原點為中心的中心對稱圖形.而 .可知，函數 的圖像按向量 平移，即得到函數 的圖像，故函數 的圖像是以點 為中心的中心對稱圖形.
(3)證明：在曲線上任取一點 .
由 知，過此點的切線方程為
.
令 得 ，切線與直線 交點為 .
令 得 ，切線與直線 交點為 .
直線 與直線 的交點為 .
從而所圍三角形的面積為 .
所以，所圍三角形的面積為定值 .
6.綜合應用數學歸納法證明與正整數有關的問題
例8(2009山東卷理)等比數列{ }的前n項和為 ， 已知對任意的 ，點 ，均在函數 且 均為常數)的圖像上.
(1)求r的值;
(11)當b=2時，記
證明：對任意的 ，不等式 成立
解:因為對任意的 ,點 ，均在函數 且 均為常數的圖像上.所以得 ,當 時, ,當 時, ,又因為{ }為等比數列,所以 ,公比為 ,
(2)當b=2時， ,
則 ,所以
下面用數學歸納法證明不等式 成立.
① 當 時,左邊= ,右邊= ,因為 ,所以不等式成立.
② 假設當 時不等式成立,即 成立.則當 時,左邊=
所以當 時,不等式也成立
由①、②可得不等式恒成立.
點評:本題主要考查了等比數列的定義,通項公式,以及已知 求 的基本題型,并運用數學歸納法證明與自然數有關的命題,以及放縮法證明不等式.
7.創新性問題
例9(2007北京理)(本小題共13分)已知集合 ，其中 ，由 中的元素構成兩個相應的集合： ， .
其中 是有序數對，集合 和 中的元素個數分別為 和 .
若對于任意的 ，總有 ，則稱集合 具有性質 .
(I)檢驗集合 與 是否具有性質 并對其中具有性質 的集合，寫出相應的集合 和 ;
(II)對任何具有性質 的集合 ，證明： ;
(III)判斷 和 的大小關系，并證明你的結論.
(I)解：集合 不具有性質 .
集合 具有性質 ，其相應的集合 和 是 ，
.
(II)證明：首先，由 中元素構成的有序數對 共有 個.
因為 ，所以 ;
又因為當 時， 時， ，所以當 時， .
從而，集合 中元素的個數最多為 ，
即 .
(III)解： ，證明如下：
(1)對于 ，根據定義， ， ，且 ，從而 .
如果 與 是 的不同元素，那么 與 中至少有一個不成立，從而 與 中也至少有一個不成立.
故 與 也是 的不同元素.
可見， 中元素的個數不多于 中元素的個數，即 ，
(2)對于 ，根據定義， ， ，且 ，從而 .如果 與 是 的不同元素，那么 與 中至少有一個不成立，從而 與 中也不至少有一個不成立，
故 與 也是 的不同元素.
可見， 中元素的個數不多于 中元素的個數，即 ，
由(1)(2)可知， .
【專題突破】
1. 觀察下列數的特點
1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100項是( C )
(A) 10 (B) 13 (C) 14 (D) 100
解析 . 由規律可得:數字相同的數依次個數為
1,2,3,4,… n 由 ≤100 n ∈ 得,n=14,所以應選(C)
2.在平面幾何里，有勾股定理：“設△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，“設三棱錐A—BCD的三個側面ABC、ACD、ADB 兩兩相互垂直，則可得” ( C )
(A)AB2+AC2+ AD2=BC2+ CD2 + BD2 (B)
(C) (D)AB2×AC2×AD2=BC2 ×CD2 ×BD2
3. 由①正方形的對角線相等;②平行四邊形的對角線相等;③正方形是平行四邊形，根據“三段論”推理出一個結論，則這個結論是 ( A )
(A) 正方形的對角線相等 (B) 平行四邊形的對角線相等
(C) 正方形是平行四邊形 (D)其它
4.若數列{ }，(n∈N )是等差數列,則有數列b = (n∈N )也是等差數列，類比上述性質，相應地：若數列{C }是等比數列,且C >0(n∈N ),則有d =______ ______ (n∈N )也是等比數列。
5.依次有下列等式： ，按此規律下去，第8個等式為 8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22= 。
6.在等差數列 中，若 ，則有等式
成立，類比上述性質，相應地：在等比數列 中，若 ，
則有等式 成立.
7.已知：
通過觀察上述兩等式的規律，請你寫出一般性的命題：
__________________________________________= 并給出( * )式的證明。
一般形式:
證明 左邊 =
=
=
= =
∴原式得證
(將一般形式寫成
等均正確。)
例1.通過計算可得下列等式：
┅┅
將以上各式分別相加得：
即：
類比上述求法：請你求出 的值..
[解]
┅┅
將以上各式分別相加得：
所以：
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